Номер 229, страница 59 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

229. Даны векторы $\vec{a}(8; y)$ и $\vec{c}(-6; 3)$. При каких значениях $y$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{c}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

229. Даны векторы $\vec{a}(8; y)$ и $\vec{c}(-6; 3)$. При каких значениях $y$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{c}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

Тип угла между двумя ненулевыми векторами (острый, прямой или тупой) определяется знаком их скалярного произведения. Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{c}$ связан со скалярным произведением формулой $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| |\vec{c}| \cos(\alpha)$. Так как длины ненулевых векторов всегда положительны, знак $\cos(\alpha)$ совпадает со знаком скалярного произведения.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{c}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{c} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.

Для данных векторов $\vec{a}(8; y)$ и $\vec{c}(-6; 3)$ найдем их скалярное произведение:

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 8 \cdot (-6) + y \cdot 3 = -48 + 3y$

Теперь рассмотрим условия для каждого типа угла.

1) острый

Угол между векторами является острым, если их скалярное произведение положительно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{c} > 0$.

$-48 + 3y > 0$

Решим это неравенство:

$3y > 48$

$y > \frac{48}{3}$

$y > 16$

Ответ: угол острый при $y > 16$.

2) прямой

Угол между векторами является прямым, если их скалярное произведение равно нулю, то есть $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$. В этом случае векторы перпендикулярны.

$-48 + 3y = 0$

Решим это уравнение:

$3y = 48$

$y = \frac{48}{3}$

$y = 16$

Ответ: угол прямой при $y = 16$.

3) тупой

Угол между векторами является тупым, если их скалярное произведение отрицательно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{c} < 0$.

$-48 + 3y < 0$

Решим это неравенство:

$3y < 48$

$y < \frac{48}{3}$

$y < 16$

Ответ: угол тупой при $y < 16$.