Номер 234, страница 60 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

234. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{k} + \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 2\vec{p}$, если $|\vec{k}| = |\vec{p}| = 1$ и $\vec{k} \perp \vec{p}$.

1) $\left| \vec{a} - \vec{b} \right|$,

2) $\left| \vec{a} + 3\vec{b} \right|$.

234. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{k} + \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 2\vec{p}$, если $\left| \vec{k} \right| = \left| \vec{p} \right| = 1$ и $\vec{k} \perp \vec{p}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле скалярного произведения:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Нам даны векторы $\vec{a} = 3\vec{k} + \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 2\vec{p}$.

Также известны следующие условия: $|\vec{k}| = |\vec{p}| = 1$ и $\vec{k} \perp \vec{p}$.

Условие перпендикулярности векторов $\vec{k}$ и $\vec{p}$ означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{k} \cdot \vec{p} = 0$.

Для нахождения косинуса угла нам нужно вычислить скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и их модули (длины).

1. Найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{k} + \vec{p}) \cdot (\vec{k} - 2\vec{p})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3\vec{k} \cdot \vec{k} - 3\vec{k} \cdot (2\vec{p}) + \vec{p} \cdot \vec{k} - \vec{p} \cdot (2\vec{p}) = 3(\vec{k} \cdot \vec{k}) - 6(\vec{k} \cdot \vec{p}) + (\vec{p} \cdot \vec{k}) - 2(\vec{p} \cdot \vec{p})$

Используем то, что $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$ и $\vec{k} \cdot \vec{p} = 0$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3|\vec{k}|^2 - 6(0) + 0 - 2|\vec{p}|^2$

Подставим значения модулей $|\vec{k}|=1$ и $|\vec{p}|=1$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1^2 = 3 - 2 = 1$

2. Найдем модули векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$

Модуль вектора находится по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}^2} = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$.

Для вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = (3\vec{k} + \vec{p}) \cdot (3\vec{k} + \vec{p}) = 9(\vec{k} \cdot \vec{k}) + 6(\vec{k} \cdot \vec{p}) + (\vec{p} \cdot \vec{p})$

$|\vec{a}|^2 = 9|\vec{k}|^2 + 6(0) + |\vec{p}|^2 = 9 \cdot 1^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$

Следовательно, $|\vec{a}| = \sqrt{10}$.

Для вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (\vec{k} - 2\vec{p}) \cdot (\vec{k} - 2\vec{p}) = (\vec{k} \cdot \vec{k}) - 4(\vec{k} \cdot \vec{p}) + 4(\vec{p} \cdot \vec{p})$

$|\vec{b}|^2 = |\vec{k}|^2 - 4(0) + 4|\vec{p}|^2 = 1^2 + 4 \cdot 1^2 = 1 + 4 = 5$

Следовательно, $|\vec{b}| = \sqrt{5}$.

3. Вычислим косинус угла

Подставим все найденные значения в исходную формулу:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}}$

Упростим полученное выражение:

$\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\cos(\alpha) = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{10}$