Номер 282, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

282. На рисунке 51 точки $A$ и $E$ симметричны относительно точки $F$, лежащей на стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что точки $E$ и $D$ симметричны относительно точки $C$.

282. На рисунке 51 точки $A$ и $E$ симметричны относительно точки $F$, лежащей на стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что точки $E$ и $D$ симметричны относительно точки $C$.

Доказательство:

Для того чтобы доказать, что точки $E$ и $D$ симметричны относительно точки $C$, нам необходимо показать, что точка $C$ является серединой отрезка $ED$.

Воспользуемся методом векторов. Условие, что точка $C$ является серединой отрезка $ED$, в векторной форме записывается как:

$\vec{c} = \frac{\vec{e} + \vec{d}}{2}$

где $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$, $\vec{f}$ — радиус-векторы точек $A, B, C, D, E, F$ соответственно. Наша задача — доказать, что $2\vec{c} = \vec{e} + \vec{d}$.

Из условий задачи мы можем составить следующие векторные равенства:

1. $ABCD$ — параллелограмм. Одно из свойств параллелограмма заключается в том, что сумма радиус-векторов противоположных вершин равна. То есть, $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$. Из этого равенства выразим вектор $\vec{d}$:

$\vec{d} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b}$

2. Точки $A$ и $E$ симметричны относительно точки $F$. Это означает, что $F$ — середина отрезка $AE$. В векторной форме:

$\vec{f} = \frac{\vec{a} + \vec{e}}{2}$, откуда $\vec{e} = 2\vec{f} - \vec{a}$.

3. Точка $F$ лежит на стороне $BC$. Это означает, что вектор $\vec{BF}$ коллинеарен вектору $\vec{BC}$. То есть существует такое число $k \in [0, 1]$, что $\vec{BF} = k \cdot \vec{BC}$. В радиус-векторах:

$\vec{f} - \vec{b} = k(\vec{c} - \vec{b})$, откуда $\vec{f} = \vec{b} + k(\vec{c} - \vec{b}) = (1-k)\vec{b} + k\vec{c}$.

Теперь подставим выражения для $\vec{e}$ и $\vec{d}$ в равенство, которое мы хотим доказать ($2\vec{c} = \vec{e} + \vec{d}$):

$ \vec{e} + \vec{d} = (2\vec{f} - \vec{a}) + (\vec{a} + \vec{c} - \vec{b}) = 2\vec{f} + \vec{c} - \vec{b} $

Теперь подставим в это выражение радиус-вектор точки $F$ из пункта 3:

$ \vec{e} + \vec{d} = 2((1-k)\vec{b} + k\vec{c}) + \vec{c} - \vec{b} $

$ \vec{e} + \vec{d} = (2-2k)\vec{b} + 2k\vec{c} + \vec{c} - \vec{b} $

$ \vec{e} + \vec{d} = (2-2k-1)\vec{b} + (2k+1)\vec{c} $

$ \vec{e} + \vec{d} = (1-2k)\vec{b} + (1+2k)\vec{c} $

Мы хотели доказать, что $\vec{e} + \vec{d} = 2\vec{c}$. Сравним полученное выражение с целевым:

$ (1-2k)\vec{b} + (1+2k)\vec{c} = 2\vec{c} $

$ (1-2k)\vec{b} + (1+2k-2)\vec{c} = \vec{0} $

$ (1-2k)\vec{b} + (2k-1)\vec{c} = \vec{0} $

$ (1-2k)\vec{b} - (1-2k)\vec{c} = \vec{0} $

$ (1-2k)(\vec{b} - \vec{c}) = \vec{0} $

$ (1-2k)\vec{CB} = \vec{0} $

Так как $ABCD$ — параллелограмм, вектор $\vec{CB}$ не является нулевым вектором. Следовательно, для выполнения этого равенства необходимо, чтобы числовой коэффициент был равен нулю:

$1-2k=0 \implies k = \frac{1}{2}$

Значение $k = \frac{1}{2}$ означает, что $\vec{BF} = \frac{1}{2}\vec{BC}$, то есть $F$ является серединой стороны $BC$.

Таким образом, утверждение задачи справедливо только в том случае, если точка $F$ является серединой стороны $BC$. Вероятно, это условие подразумевается в задаче или опущено в её формулировке. Принимая это условие, доказательство становится верным.

Ответ: Утверждение доказано при условии, что $F$ — середина стороны $BC$.