Номер 294, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

294. Отметьте точки $P$ и $D$. Найдите такую точку $M$, чтобы точка $P$ была образом точки $D$ при гомотетии с центром $M$ и коэффициентом гомотетии $k = -2$.

294. Отметьте точки $P$ и $D$. Найдите такую точку $M$, чтобы точка $P$ была образом точки $D$ при гомотетии с центром $M$ и коэффициентом гомотетии $k = -2$.

По определению гомотетии, если точка $P$ является образом точки $D$ при гомотетии с центром $M$ и коэффициентом $k$, то выполняется следующее векторное равенство:$\vec{MP} = k \cdot \vec{MD}$.

В условии задачи дан коэффициент гомотетии $k = -2$. Подставим это значение в формулу:$\vec{MP} = -2 \cdot \vec{MD}$.

Проанализируем полученное векторное равенство:
1. Равенство означает, что векторы $\vec{MP}$ и $\vec{MD}$ коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых). Так как у них есть общая точка $M$, то все три точки, $P$, $D$ и $M$, лежат на одной прямой.
2. Так как коэффициент $k = -2$ является отрицательным числом, векторы $\vec{MP}$ и $\vec{MD}$ направлены в противоположные стороны. Это означает, что центр гомотетии, точка $M$, лежит между точками $P$ и $D$.
3. Из равенства следует, что длина вектора $\vec{MP}$ в $|-2|=2$ раза больше длины вектора $\vec{MD}$. Таким образом, расстояние от точки $M$ до точки $P$ в два раза больше расстояния от точки $M$ до точки $D$, то есть $MP = 2 \cdot MD$.

Следовательно, для того чтобы найти точку $M$, необходимо:
1. Соединить точки $P$ и $D$ отрезком.
2. Разделить этот отрезок на 3 равные части.
3. Искомая точка $M$ будет той точкой деления, которая находится ближе к точке $D$. Эта точка делит отрезок $PD$ в отношении $2:1$, считая от точки $P$.

Ответ: Точка $M$ лежит на отрезке $PD$ и делит его в отношении $PM:MD = 2:1$.