Номер 6, страница 68 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) $\frac{\cos 11^\circ}{\cos 169^\circ} - \frac{\sin 112^\circ}{\sin 68^\circ}$

2) $\frac{\text{tg} 133^\circ}{\text{tg} 47^\circ} - \frac{\text{ctg} 152^\circ}{\text{ctg} 128^\circ}$

6. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) $\frac{\cos 11^\circ}{\cos 169^\circ} - \frac{\sin 112^\circ}{\sin 68^\circ}$;

2) $\frac{\operatorname{tg} 133^\circ}{\operatorname{tg} 47^\circ} - \frac{\operatorname{ctg} 152^\circ}{\operatorname{ctg} 128^\circ}$.

1) $\frac{\cos{11^\circ}}{\cos{169^\circ}} - \frac{\sin{112^\circ}}{\sin{68^\circ}}$

Для решения этой задачи воспользуемся формулами приведения, которые позволяют упрощать тригонометрические функции углов, превышающих $90^\circ$.

Рассмотрим первую дробь: $\frac{\cos{11^\circ}}{\cos{169^\circ}}$.

Угол в знаменателе, $169^\circ$, можно представить как $180^\circ - 11^\circ$. Применим формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Таким образом, $\cos(169^\circ) = \cos(180^\circ - 11^\circ) = -\cos(11^\circ)$.

Подставим это значение в первую дробь: $\frac{\cos{11^\circ}}{-\cos{11^\circ}} = -1$.

Теперь рассмотрим вторую дробь: $\frac{\sin{112^\circ}}{\sin{68^\circ}}$.

Угол в числителе, $112^\circ$, можно представить как $180^\circ - 68^\circ$. Применим формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

Таким образом, $\sin(112^\circ) = \sin(180^\circ - 68^\circ) = \sin(68^\circ)$.

Подставим это значение во вторую дробь: $\frac{\sin{68^\circ}}{\sin{68^\circ}} = 1$.

Наконец, найдем значение всего выражения, подставив полученные значения дробей:

$-1 - 1 = -2$.

Ответ: -2.

2) $\frac{\tan{133^\circ}}{\tan{47^\circ}} - \frac{\cot{152^\circ}}{\cot{128^\circ}}$

Решим задачу по частям, используя формулы приведения.

Сначала упростим первую дробь: $\frac{\tan{133^\circ}}{\tan{47^\circ}}$.

Угол $133^\circ$ можно представить как $180^\circ - 47^\circ$. По формуле приведения $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan(\alpha)$, получаем:

$\tan(133^\circ) = \tan(180^\circ - 47^\circ) = -\tan(47^\circ)$.

Следовательно, первая дробь равна $\frac{-\tan{47^\circ}}{\tan{47^\circ}} = -1$.

Теперь рассмотрим вторую дробь: $\frac{\cot{152^\circ}}{\cot{128^\circ}}$.

Упростим числитель и знаменатель с помощью формул приведения:

$\cot(152^\circ) = \cot(180^\circ - 28^\circ) = -\cot(28^\circ)$.

$\cot(128^\circ) = \cot(180^\circ - 52^\circ) = -\cot(52^\circ)$.

Подставив эти значения в дробь, получим: $\frac{-\cot(28^\circ)}{-\cot(52^\circ)} = \frac{\cot(28^\circ)}{\cot(52^\circ)}$.

Это выражение не упрощается до целого или простого рационального числа без использования калькулятора, что нетипично для задач такого типа. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка. В подобных задачах углы обычно связаны соотношениями, которые позволяют провести сокращение (например, их сумма равна $180^\circ$ или $90^\circ$). Наиболее вероятная опечатка заключается в том, что угол в знаменателе второй дроби должен быть $28^\circ$ вместо $128^\circ$, так как в этом случае углы в числителе и знаменателе становятся смежными ($152^\circ + 28^\circ = 180^\circ$), что соответствует структуре первой дроби.

Решим задачу с предполагаемым исправлением. Выражение принимает вид: $\frac{\tan{133^\circ}}{\tan{47^\circ}} - \frac{\cot{152^\circ}}{\cot{28^\circ}}$.

Первая дробь, как мы уже выяснили, равна $-1$.

Вторая дробь теперь равна: $\frac{\cot(152^\circ)}{\cot(28^\circ)} = \frac{\cot(180^\circ - 28^\circ)}{\cot(28^\circ)} = \frac{-\cot(28^\circ)}{\cot(28^\circ)} = -1$.

Итоговое значение выражения: $-1 - (-1) = -1 + 1 = 0$.

Ответ: 0 (при предположении, что в условии задачи опечатка и вместо $\cot{128^\circ}$ должно быть $\cot{28^\circ}$).