Номер 13, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. На сторонах $AB$ и $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) отмечены соответственно такие точки $M$ и $K$, что $AM = 4$ см, $KC = 3$ см. Найдите отрезок $KM$, если $AC = 6$ см, $BC = 2\sqrt{55}$ см.

13. На сторонах AB и AC прямоугольного треугольника ABC ($\angle C = 90^\circ$) отмечены соответственно такие точки M и K, что $AM = 4$ см, $KC = 3$ см. Найдите отрезок KM, если $AC = 6$ см, $BC = 2\sqrt{55}$ см.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $AMK$. Согласно этой теореме, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов для стороны $KM$ в треугольнике $AMK$ выглядит так:$KM^2 = AM^2 + AK^2 - 2 \cdot AM \cdot AK \cdot \cos(\angle A)$

Нам известны следующие величины из условия задачи:

• $AM = 4$ см
• $AC = 6$ см
• $KC = 3$ см
• $BC = 2\sqrt{55}$ см
• $\triangle ABC$ — прямоугольный с $\angle C = 90^\circ$

1. Найдем длину отрезка AK.
Точка K лежит на стороне AC. Следовательно, длина всей стороны AC равна сумме длин ее частей AK и KC: $AC = AK + KC$.Отсюда выразим AK:$AK = AC - KC = 6 - 3 = 3$ см.

2. Найдем косинус угла A.
Угол A является острым углом в прямоугольном треугольнике ABC. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(A) = \frac{AC}{AB}$.Длина катета AC нам известна ($AC = 6$ см), а длину гипотенузы AB мы можем найти по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.Подставим известные значения:$AB^2 = 6^2 + (2\sqrt{55})^2 = 36 + 4 \cdot 55 = 36 + 220 = 256$.$AB = \sqrt{256} = 16$ см.Теперь найдем косинус угла A:$\cos(A) = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

3. Найдем длину отрезка KM.
Теперь у нас есть все необходимые данные для применения теоремы косинусов к треугольнику $AMK$:$AM = 4$ см, $AK = 3$ см, $\cos(A) = \frac{3}{8}$.Подставим эти значения в формулу:$KM^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{3}{8}$$KM^2 = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{3}{8}$$KM^2 = 25 - 3 \cdot 3$$KM^2 = 25 - 9$$KM^2 = 16$$KM = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.