Номер 16, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

16. Две стороны треугольника равны 6 см и 14 см, а угол, противолежащий большей из них, — $120^\circ$. Найдите третью сторону треугольника.

16. Две стороны треугольника равны 6 см и 14 см, а угол, противолежащий большей из них, — 120°. Найдите третью сторону треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию задачи нам даны две стороны и угол, противолежащий большей из них.

Обозначим известные стороны:

• $a = 14$ см (большая сторона)
• $b = 6$ см

Угол, противолежащий большей стороне $a$, равен $\alpha = 120^{\circ}$.Требуется найти длину третьей стороны $c$.

Для нахождения неизвестной стороны воспользуемся теоремой косинусов. Согласно этой теореме, квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Запишем теорему косинусов для стороны $a$:$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$

Подставим в эту формулу известные нам значения:$14^2 = 6^2 + c^2 - 2 \cdot 6 \cdot c \cdot \cos(120^{\circ})$

Выполним вычисления. Значение косинуса $120^{\circ}$ равно:$\cos(120^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos(60^{\circ}) = -\frac{1}{2}$

Теперь подставим все числовые значения в уравнение:$196 = 36 + c^2 - 2 \cdot 6 \cdot c \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$196 = 36 + c^2 + 6c$

Мы получили квадратное уравнение относительно неизвестной стороны $c$. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$:$c^2 + 6c + 36 - 196 = 0$$c^2 + 6c - 160 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-160) = 36 + 640 = 676$

Теперь найдем корни уравнения:$c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 26}{2}$

Получаем два возможных значения для $c$:$c_1 = \frac{-6 + 26}{2} = \frac{20}{2} = 10$$c_2 = \frac{-6 - 26}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку длина стороны треугольника не может быть отрицательным числом, корень $c_2 = -16$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, единственное возможное значение для третьей стороны — это 10.

Ответ: 10 см.