Номер 11, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. Две стороны треугольника равны 5 см и 13 см, а синус угла между ними равен $\frac{2\sqrt{6}}{5}$. Найдите третью сторону треугольника.

11. Две стороны треугольника равны 5 см и 13 см, а синус угла между ними равен $ \frac{2\sqrt{6}}{5} $. Найдите третью сторону треугольника.

Для нахождения третьей стороны треугольника воспользуемся теоремой косинусов. Пусть известные стороны равны $a = 5$ см и $b = 13$ см, а угол между ними — $\gamma$. Третья сторона, которую нужно найти, — $c$.

Теорема косинусов записывается в виде формулы:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

По условию задачи известен синус угла $\gamma$: $\sin(\gamma) = \frac{2\sqrt{6}}{5}$. Чтобы применить теорему косинусов, нам необходимо найти $\cos(\gamma)$. Сделаем это с помощью основного тригонометрического тождества: $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$.

Выразим и вычислим квадрат косинуса:

$\cos^2(\gamma) = 1 - \sin^2(\gamma) = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$

Из этого следует, что косинус угла может принимать два значения, так как угол в треугольнике может быть как острым ($\cos(\gamma) > 0$), так и тупым ($\cos(\gamma) < 0$):

$\cos(\gamma) = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ или $\cos(\gamma) = -\sqrt{\frac{1}{25}} = -\frac{1}{5}$

Так как в условии нет уточнений о виде угла, необходимо рассмотреть оба варианта.

Случай 1: Угол $\gamma$ острый ($\cos(\gamma) = \frac{1}{5}$)

Подставим значения в теорему косинусов:

$c^2 = 5^2 + 13^2 - 2 \cdot 5 \cdot 13 \cdot \frac{1}{5}$

$c^2 = 25 + 169 - 2 \cdot 13 = 194 - 26 = 168$

$c = \sqrt{168} = \sqrt{4 \cdot 42} = 2\sqrt{42}$ см.

Случай 2: Угол $\gamma$ тупой ($\cos(\gamma) = -\frac{1}{5}$)

Подставим значения в теорему косинусов:

$c^2 = 5^2 + 13^2 - 2 \cdot 5 \cdot 13 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)$

$c^2 = 25 + 169 + 2 \cdot 13 = 194 + 26 = 220$

$c = \sqrt{220} = \sqrt{4 \cdot 55} = 2\sqrt{55}$ см.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $2\sqrt{42}$ см или $2\sqrt{55}$ см.