Номер 10, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

10. Стороны параллелограмма равны 7 см и $6\sqrt{2}$ см, а один из углов равен $45^\circ$. Найдите диагонали параллелограмма.

2) 9 см, 10 см и 12 см;

10. Стороны параллелограмма равны 7 см и $6\sqrt{2}$ см, а один из углов равен $45^\circ$. Найдите диагонали параллелограмма.

Для нахождения диагоналей параллелограмма воспользуемся теоремой косинусов. Пусть стороны параллелограмма равны $a = 7$ см и $b = 6\sqrt{2}$ см. Один из углов равен 45°. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, следовательно, второй угол равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Каждая диагональ является третьей стороной в треугольнике, образованном двумя сторонами параллелограмма.

Найдем меньшую диагональ ($d_1$), лежащую напротив угла 45°
По теореме косинусов: $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(45^\circ)$.
Подставим известные значения:
$d_1^2 = 7^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 7 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$
Так как $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$d_1^2 = 49 + (36 \cdot 2) - 84\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$d_1^2 = 49 + 72 - \frac{84 \cdot 2}{2}$
$d_1^2 = 121 - 84 = 37$
$d_1 = \sqrt{37}$ см.
Ответ: $\sqrt{37}$ см.

Найдем большую диагональ ($d_2$), лежащую напротив угла 135°
Применим теорему косинусов для второго треугольника: $d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(135^\circ)$.
Так как $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$d_2^2 = 7^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 7 \cdot 6\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$d_2^2 = 49 + 72 + \frac{84 \cdot 2}{2}$
$d_2^2 = 121 + 84 = 205$
$d_2 = \sqrt{205}$ см.
Ответ: $\sqrt{205}$ см.