Номер 14, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

14. На продолжении стороны $AC$ треугольника $ABC$ за точку $A$ отметили точку $M$, а на продолжении стороны $BC$ за точку $B$ — точку $N$. Найдите отрезок $MN$, если $AM = 1$ см, $CN = 10$ см, $AB = 7$ см, $BC = 5$ см, $AC = 6$ см.

14. На продолжении стороны $AC$ треугольника $ABC$ за точку $A$ отметили точку $M$, а на продолжении стороны $BC$ за точку $B$ — точку $N$. Найдите отрезок $MN$, если $AM = 1$ см, $CN = 10$ см, $AB = 7$ см, $BC = 5$ см, $AC = 6$ см.

Для нахождения длины отрезка $MN$ рассмотрим треугольник $MCN$. Мы можем найти длину стороны $MN$ с помощью теоремы косинусов:

$MN^2 = MC^2 + CN^2 - 2 \cdot MC \cdot CN \cdot \cos(\angle MCN)$

Для этого нам необходимо найти длины сторон $MC$, $CN$ и косинус угла между ними, $\angle MCN$.

1. Найдем длину стороны $MC$. По условию, точка $M$ лежит на продолжении стороны $AC$ за точку $A$. Это значит, что точки $C$, $A$ и $M$ лежат на одной прямой, причем точка $A$ находится между $C$ и $M$. Следовательно, длина отрезка $MC$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $AM$.
$MC = AC + AM = 6 \text{ см} + 1 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

2. Длина стороны $CN$ дана в условии задачи: $CN = 10 \text{ см}$.

3. Найдем косинус угла $\angle MCN$. Угол $\angle MCN$ является тем же углом, что и угол $\angle ACB$ в треугольнике $ABC$. Мы можем найти косинус этого угла, применив теорему косинусов к треугольнику $ABC$.
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$
Подставим известные значения длин сторон треугольника $ABC$: $AB = 7$ см, $AC = 6$ см, $BC = 5$ см.
$7^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos(\angle ACB)$
$49 = 36 + 25 - 60 \cdot \cos(\angle ACB)$
$49 = 61 - 60 \cdot \cos(\angle ACB)$
$60 \cdot \cos(\angle ACB) = 61 - 49$
$60 \cdot \cos(\angle ACB) = 12$
$\cos(\angle ACB) = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$.

Теперь у нас есть все данные для вычисления длины $MN$. Подставим найденные значения в формулу теоремы косинусов для треугольника $MCN$: $MC = 7$ см, $CN = 10$ см и $\cos(\angle MCN) = \frac{1}{5}$.
$MN^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{1}{5}$
$MN^2 = 49 + 100 - \frac{140}{5}$
$MN^2 = 149 - 28$
$MN^2 = 121$
$MN = \sqrt{121} = 11$ см.

Ответ: 11 см.