Номер 21, страница 70 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. В трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) $AB = 7$ см, $BC = 8$ см, $CD = 11$ см, $AD = 14$ см. Найдите косинус угла $D$ трапеции.

21. В трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) $AB = 7$ см, $BC = 8$ см, $CD = 11$ см, $AD = 14$ см. Найдите косинус угла $D$ трапеции.

Дано: трапеция $ABCD$, основания $AD \parallel BC$, $AB = 7$ см, $BC = 8$ см, $CD = 11$ см, $AD = 14$ см.

Для нахождения косинуса угла $D$ выполним дополнительное построение. Проведём из вершины $C$ отрезок $CE$, параллельный боковой стороне $AB$, так, что точка $E$ лежит на основании $AD$.

Рассмотрим получившийся четырёхугольник $ABCE$. Так как $BC \parallel AD$ (по определению трапеции), то $BC \parallel AE$. По построению $AB \parallel CE$. Следовательно, $ABCE$ — параллелограмм.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны:

$AE = BC = 8$ см,

$CE = AB = 7$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $ED$ на основании $AD$:

$ED = AD - AE = 14 - 8 = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $CDE$. В этом треугольнике известны длины всех трёх сторон:

$CD = 11$ см,

$CE = 7$ см,

$ED = 6$ см.

Угол $D$ трапеции совпадает с углом $CDE$ треугольника $CDE$. Чтобы найти косинус этого угла, воспользуемся теоремой косинусов, согласно которой квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Применительно к треугольнику $CDE$ и углу $D$, теорема косинусов выглядит так:

$CE^2 = CD^2 + ED^2 - 2 \cdot CD \cdot ED \cdot \cos(\angle D)$

Подставим известные значения в формулу:

$7^2 = 11^2 + 6^2 - 2 \cdot 11 \cdot 6 \cdot \cos(\angle D)$

$49 = 121 + 36 - 132 \cdot \cos(\angle D)$

$49 = 157 - 132 \cdot \cos(\angle D)$

Теперь выразим из уравнения $132 \cdot \cos(\angle D)$:

$132 \cdot \cos(\angle D) = 157 - 49$

$132 \cdot \cos(\angle D) = 108$

Найдём значение $\cos(\angle D)$:

$\cos(\angle D) = \frac{108}{132}$

Сократим полученную дробь на их наибольший общий делитель, который равен 12:

$\cos(\angle D) = \frac{108 \div 12}{132 \div 12} = \frac{9}{11}$

Ответ: $\frac{9}{11}$