Номер 28, страница 70 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. В треугольнике $ABC$ $AB = 7\sqrt{2}$ см, $\angle B = 60^{\circ}$, $\angle C = 45^{\circ}$.

Найдите сторону $AC$.

28. В треугольнике $ABC$ $AB = 7\sqrt{2}$ см, $\angle B = 60^\circ$, $\angle C = 45^\circ$.

Найдите сторону $AC$.

Для нахождения стороны $AC$ треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равно:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

В нашем случае:

• Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$, поэтому $c = AB = 7\sqrt{2}$ см.
• Сторона $AC$ лежит напротив угла $B$, поэтому мы ищем сторону $b = AC$.
• Угол $\angle B = 60^\circ$.
• Угол $\angle C = 45^\circ$.

Составим пропорцию, используя известные нам данные:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим значения в формулу:

$\frac{AC}{\sin(60^\circ)} = \frac{7\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)}$

Теперь выразим $AC$:

$AC = \frac{7\sqrt{2} \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(45^\circ)}$

Нам известны значения синусов для данных углов:

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в наше выражение для $AC$:

$AC = \frac{7\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Чтобы упростить дробь, мы можем умножить числитель и знаменатель на 2, что приведет к сокращению $\frac{1}{2}$:

$AC = \frac{7\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Теперь сократим $\sqrt{2}$ в числителе и знаменателе:

$AC = 7\sqrt{3}$

Таким образом, длина стороны $AC$ составляет $7\sqrt{3}$ см.

Ответ: $7\sqrt{3}$ см.