Номер 24, страница 70 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а медиана, проведённая к боковой стороне, — 8 см. Найдите боковую сторону треугольника.

24. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а медиана, проведённая к боковой стороне, — 8 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC = 10$ см, а боковые стороны $AB = BC$. Обозначим длину боковой стороны за $x$, то есть $AB = BC = x$.

Пусть $AM$ — медиана, проведённая к боковой стороне $BC$. По условию, длина этой медианы равна $8$ см, то есть $AM = 8$ см.

Воспользуемся формулой для длины медианы треугольника. Длина медианы $m_a$, проведённой к стороне $a$, в треугольнике со сторонами $a, b, c$ вычисляется по формуле:$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

В нашем случае медиана $AM$ проведена к стороне $BC$. Применим формулу к треугольнику $ABC$, где:

• Сторона, к которой проведена медиана: $BC = x$
• Две другие стороны: $AB = x$ и $AC = 10$
• Длина медианы: $AM = 8$

Подставим эти значения в формулу, где $AM$ является медианой к стороне $BC$:$AM^2 = \frac{2(AB^2) + 2(AC^2) - BC^2}{4}$$8^2 = \frac{2x^2 + 2(10^2) - x^2}{4}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:$64 = \frac{2x^2 + 2 \cdot 100 - x^2}{4}$$64 = \frac{x^2 + 200}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4:$64 \cdot 4 = x^2 + 200$$256 = x^2 + 200$

Выразим $x^2$:$x^2 = 256 - 200$$x^2 = 56$

Найдём $x$, взяв квадратный корень. Так как $x$ — это длина стороны, нас интересует только положительное значение:$x = \sqrt{56}$$x = \sqrt{4 \cdot 14}$$x = 2\sqrt{14}$ см.

Таким образом, длина боковой стороны треугольника равна $2\sqrt{14}$ см.

Ответ: $2\sqrt{14}$ см.