Номер 61, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. Стороны треугольника равны 11 см, 13 см и 20 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, радиусы его вписанной и описанной окружностей.

61. Стороны треугольника равны 11 см, 13 см и 20 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, радиусы его вписанной и описанной окружностей.

Для решения задачи нам понадобятся полупериметр и площадь треугольника. Пусть стороны треугольника равны $a = 11$ см, $b = 13$ см и $c = 20$ см.

1. Вычислим полупериметр (p) треугольника:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{11+13+20}{2} = \frac{44}{2} = 22$ см.

2. Вычислим площадь (S) треугольника по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{22(22-11)(22-13)(22-20)} = \sqrt{22 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 2}$
$S = \sqrt{(2 \cdot 11) \cdot 11 \cdot 3^2 \cdot 2} = \sqrt{2^2 \cdot 11^2 \cdot 3^2} = \sqrt{(2 \cdot 11 \cdot 3)^2} = 2 \cdot 11 \cdot 3 = 66$ см².

Теперь, зная площадь и полупериметр, мы можем найти требуемые величины.

Наименьшая высота треугольника
Наименьшая высота в треугольнике всегда проведена к его наибольшей стороне. Наибольшая сторона в данном треугольнике равна $c = 20$ см. Площадь треугольника также вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$, где $h_c$ — высота, проведенная к стороне $c$. Выразим высоту $h_c$ (которая является наименьшей):
$h_{min} = h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 66}{20} = \frac{132}{20} = 6,6$ см.
Ответ: 6,6 см.

Радиус вписанной окружности
Радиус вписанной окружности ($r$) находится по формуле, связывающей его с площадью и полупериметром треугольника: $r = \frac{S}{p}$.
$r = \frac{66}{22} = 3$ см.
Ответ: 3 см.

Радиус описанной окружности
Радиус описанной окружности ($R$) находится по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$.
$R = \frac{11 \cdot 13 \cdot 20}{4 \cdot 66} = \frac{2860}{264}$.
Сократим полученную дробь: $R = \frac{11 \cdot 13 \cdot 20}{4 \cdot 6 \cdot 11} = \frac{13 \cdot 20}{4 \cdot 6} = \frac{13 \cdot 5}{6} = \frac{65}{6}$ см.
Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $10 \frac{5}{6}$ см.
Ответ: $\frac{65}{6}$ см (или $10 \frac{5}{6}$ см).