Номер 63, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки длиной 6 см и 10 см. Большая из двух других сторон равна 25 см. Найдите площадь треугольника.

63. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки длиной 6 см и 10 см. Большая из двух других сторон равна 25 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан треугольник, в котором биссектриса делит одну из его сторон на отрезки длиной 6 см и 10 см. Обозначим эту сторону как $b$. Тогда ее длина составляет $b = 6 + 10 = 16$ см. Две другие стороны обозначим как $a$ и $c$.

Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Таким образом, отношение сторон $a$ и $c$ равно отношению отрезков, на которые делится сторона $b$:

$\frac{a}{c} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Из условия задачи известно, что большая из двух других сторон ($a$ и $c$) равна 25 см. Из полученного соотношения $\frac{a}{c} = \frac{5}{3}$ видно, что сторона $a$ больше стороны $c$. Следовательно, $a = 25$ см.

Теперь найдем длину стороны $c$:

$c = a \cdot \frac{3}{5} = 25 \cdot \frac{3}{5} = 15$ см.

Таким образом, мы определили длины всех трех сторон треугольника:

• $a = 25$ см
• $b = 16$ см
• $c = 15$ см

Для нахождения площади треугольника ($S$) воспользуемся формулой Герона, так как известны все три стороны:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{25+16+15}{2} = \frac{56}{2} = 28$ см.

Далее вычислим значения выражений в скобках:

• $p-a = 28 - 25 = 3$
• $p-b = 28 - 16 = 12$
• $p-c = 28 - 15 = 13$

Подставим все значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{28 \cdot 3 \cdot 12 \cdot 13} = \sqrt{(4 \cdot 7) \cdot 3 \cdot (4 \cdot 3) \cdot 13}$

Сгруппируем множители:

$S = \sqrt{4^2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 13} = \sqrt{144 \cdot 91}$

Извлекая корень из 144, получаем:

$S = 12\sqrt{91}$ см².

Ответ: $12\sqrt{91}$ см².