Номер 58, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. На сторонах угла $A$ отложены отрезки $AM = 6 \text{ см}$, $MB = 4 \text{ см}$, $AK = 3 \text{ см}$, $KC = 9 \text{ см}$ (рис. 57).

Найдите отношение площадей треугольника $AMK$ и четырёхугольника $BCKM$.

Рис. 57

58. На сторонах угла $A$ отложены отрезки $AM = 6$ см, $MB = 4$ см, $AK = 3$ см, $KC = 9$ см (рис. 57).

Найдите отношение площадей треугольника $AMK$ и четырёхугольника $BCKM$.

Рис. 57

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin{\alpha}$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle ABC$. Они имеют общий угол $A$.

Площадь треугольника $\triangle AMK$ можно выразить, используя длины сторон $AM$ и $AK$, которые известны из условия: $AM = 6$ см и $AK = 3$ см.$S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AK \cdot \sin{A} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \cdot \sin{A} = 9 \sin{A}$.

Теперь найдем длины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $\triangle ABC$.Сторона $AB$ состоит из отрезков $AM$ и $MB$:$AB = AM + MB = 6 + 4 = 10$ см.Сторона $AC$ состоит из отрезков $AK$ и $KC$:$AC = AK + KC = 3 + 9 = 12$ см.

Площадь треугольника $\triangle ABC$ выражается аналогично:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{A} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin{A} = 60 \sin{A}$.

Площадь четырехугольника $BCKM$ равна разности площадей треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle AMK$:$S_{BCKM} = S_{ABC} - S_{AMK} = 60 \sin{A} - 9 \sin{A} = 51 \sin{A}$.

Теперь мы можем найти искомое отношение площади треугольника $AMK$ к площади четырехугольника $BCKM$:$\frac{S_{AMK}}{S_{BCKM}} = \frac{9 \sin{A}}{51 \sin{A}}$.

Поскольку угол $A$ является углом треугольника, $\sin{A} \neq 0$, поэтому мы можем сократить $\sin{A}$ в числителе и знаменателе:$\frac{S_{AMK}}{S_{BCKM}} = \frac{9}{51}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:$\frac{9}{51} = \frac{9 \div 3}{51 \div 3} = \frac{3}{17}$.

Ответ: $\frac{3}{17}$.