Номер 65, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

65. Площадь прямоугольника равна $49\sqrt{3}$ см$^2$, а угол между его диагоналями — $60^\circ$. Найдите стороны прямоугольника.

65. Площадь прямоугольника равна $49\sqrt{3}$ см$^2$, а угол между его диагоналями — $60^\circ$. Найдите стороны прямоугольника.

Площадь выпуклого четырехугольника можно найти по формуле, использующей длины его диагоналей и угол между ними: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

В прямоугольнике диагонали равны, то есть $d_1 = d_2 = d$. Тогда формула для площади прямоугольника принимает вид: $S = \frac{1}{2}d^2 \sin\alpha$.

Подставим в эту формулу известные значения из условия задачи: площадь $S = 49\sqrt{3}$ см$^2$ и угол между диагоналями $\alpha = 60^\circ$. Значение синуса этого угла: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$49\sqrt{3} = \frac{1}{2}d^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$49\sqrt{3} = \frac{d^2\sqrt{3}}{4}$

Разделив обе части уравнения на $\sqrt{3}$, получим:

$49 = \frac{d^2}{4}$

Отсюда находим квадрат длины диагонали:

$d^2 = 49 \cdot 4 = 196$

Длина диагонали равна:

$d = \sqrt{196} = 14$ см.

Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам. Они делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника. Два из них имеют угол при вершине $60^\circ$, а два других — смежный с ним угол $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Рассмотрим один из треугольников, образованных половинками диагоналей, с углом $60^\circ$ между ними. Боковые стороны этого треугольника равны половине диагонали, то есть $\frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см. Так как это равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$, то углы при основании также равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Следовательно, этот треугольник является равносторонним. Его основание, которое является одной из сторон прямоугольника (обозначим ее $a$), равно боковой стороне: $a = 7$ см.

Теперь, зная одну из сторон прямоугольника и его площадь, мы можем найти вторую сторону (обозначим ее $b$). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $S = a \cdot b$.

$49\sqrt{3} = 7 \cdot b$

$b = \frac{49\sqrt{3}}{7} = 7\sqrt{3}$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 7 см и $7\sqrt{3}$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 7 см и $7\sqrt{3}$ см.