Номер 71, страница 75 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

71. Найдите углы правильного восемнадцатиугольника.

71. Найдите углы правильного восемнадцатиугольника.

Для нахождения углов правильного восемнадцатиугольника, то есть многоугольника с 18 равными сторонами и углами, воспользуемся соответствующими формулами. Число сторон и вершин в данном случае $n = 18$.

Внутренний угол

Величина внутреннего угла ($\alpha$) правильного n-угольника вычисляется по формуле, которая исходит из того, что сумма всех внутренних углов равна $(n-2) \cdot 180^\circ$:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Подставим в эту формулу значение $n = 18$:

$\alpha = \frac{(18-2) \cdot 180^\circ}{18} = \frac{16 \cdot 180^\circ}{18}$

Сократим дробь:

$\alpha = 16 \cdot \frac{180^\circ}{18} = 16 \cdot 10^\circ = 160^\circ$

Внешний угол

Внешний угол ($\beta$) при вершине правильного многоугольника является смежным с внутренним углом, поэтому их сумма равна $180^\circ$.

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$

Также его можно найти, зная, что сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного n-угольника:

$\beta = \frac{360^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$

Центральный угол

Центральный угол ($\gamma$) — это угол, образованный двумя радиусами описанной окружности, проведенными к соседним вершинам. Его величина рассчитывается как:

$\gamma = \frac{360^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$

Таким образом, для правильного восемнадцатиугольника внутренний угол равен $160^\circ$, а внешний и центральный углы равны по $20^\circ$. Как правило, в ответе на подобный вопрос требуется указать величину внутреннего угла.

Ответ: $160^\circ$.