Номер 77, страница 76 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Пусть $a_6$ — сторона правильного шестиугольника, $R$ и $r$ — соответственно радиусы описанной и вписанной его окружностей. Заполните таблицу (размеры даны в сантиметрах):

77. Пусть $a_6$ — сторона правильного шестиугольника, $R$ и $r$ — соответственно радиусы описанной и вписанной его окружностей. Заполните таблицу (размеры даны в сантиметрах):

Для решения задачи воспользуемся формулами, связывающими сторону правильного шестиугольника $a_6$ с радиусами вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей.

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a_6$.

• Радиус описанной окружности равен стороне такого треугольника: $R = a_6$.
• Радиус вписанной окружности равен высоте такого треугольника: $r = \frac{a_6\sqrt{3}}{2}$.

На основе этих формул заполним каждую строку таблицы.

Строка 1

Дано значение стороны шестиугольника: $a_6 = 8$ см.

1. Находим радиус описанной окружности $R$:

$R = a_6 = 8$ см.

2. Находим радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{a_6\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $R = 8$ см, $r = 4\sqrt{3}$ см.

Строка 2

Дано значение радиуса описанной окружности: $R = 3$ см.

1. Находим сторону шестиугольника $a_6$:

$a_6 = R = 3$ см.

2. Находим радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{a_6\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $a_6 = 3$ см, $r = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

Строка 3

Дано значение радиуса вписанной окружности: $r = 4\sqrt{3}$ см.

1. Из формулы для $r$ выражаем сторону $a_6$:

$r = \frac{a_6\sqrt{3}}{2} \implies a_6 = \frac{2r}{\sqrt{3}}$

Подставляем известное значение $r$:

$a_6 = \frac{2 \cdot 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$ см.

2. Находим радиус описанной окружности $R$:

$R = a_6 = 8$ см.

Ответ: $a_6 = 8$ см, $R = 8$ см.

Заполненная таблица выглядит следующим образом: