Номер 84, страница 76 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 12 см, а сторона многоугольника — $12\sqrt{3}$ см. Найдите радиус окружности, вписанной в многоугольник, и количество его сторон.

84. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 12 см, а сторона многоугольника — $12\sqrt{3}$ см. Найдите радиус окружности, вписанной в многоугольник, и количество его сторон.

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности, $a_n$ — сторона правильного многоугольника, а $n$ — количество его сторон.
По условию задачи:
$R = 12$ см
$a_n = 12\sqrt{3}$ см

Количество сторон многоугольника

Для нахождения количества сторон воспользуемся формулой, связывающей сторону правильного многоугольника с радиусом описанной окружности:
$a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$
Подставим известные значения в формулу:
$12\sqrt{3} = 2 \cdot 12 \cdot \sin(\frac{180^\circ}{n})$
$12\sqrt{3} = 24 \sin(\frac{180^\circ}{n})$
Разделим обе части уравнения на 24:
$\sin(\frac{180^\circ}{n}) = \frac{12\sqrt{3}}{24} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Значение синуса, равное $\frac{\sqrt{3}}{2}$, соответствует углу $60^\circ$. Следовательно:
$\frac{180^\circ}{n} = 60^\circ$
Отсюда находим $n$:
$n = \frac{180^\circ}{60^\circ} = 3$
Таким образом, многоугольник является правильным треугольником.
Ответ: 3.

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности можно найти, используя связь между радиусом описанной окружности $R$, радиусом вписанной окружности $r$ и половиной стороны многоугольника $(\frac{a_n}{2})$, которые образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
$R^2 = r^2 + (\frac{a_n}{2})^2$
Выразим $r^2$:
$r^2 = R^2 - (\frac{a_n}{2})^2$
Подставим известные значения:
$r^2 = 12^2 - (\frac{12\sqrt{3}}{2})^2$
$r^2 = 144 - (6\sqrt{3})^2$
$r^2 = 144 - (36 \cdot 3)$
$r^2 = 144 - 108$
$r^2 = 36$
$r = \sqrt{36} = 6$ см
Также можно воспользоваться формулой, связывающей радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного n-угольника:
$r = R \cos(\frac{180^\circ}{n})$
Так как мы уже нашли, что $n=3$:
$r = 12 \cdot \cos(\frac{180^\circ}{3}) = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
Ответ: 6 см.