Номер 81, страница 76 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

81. Отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $N$, $\angle BNC = 170^\circ$. Найдите количество сторон данного правильного многоугольника.

81. Отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $N$, $\angle BNC = 170^\circ$. Найдите количество сторон данного правильного многоугольника.

Пусть $n$ — искомое количество сторон правильного многоугольника.

Рассмотрим треугольник $BNC$, образованный пересечением продолжений сторон $AB$ и $CD$ в точке $N$. Углы $\angle NBC$ и $\angle BCN$ этого треугольника являются внешними углами правильного многоугольника при вершинах $B$ и $C$ соответственно.

В правильном многоугольнике все внешние углы равны. Обозначим величину внешнего угла через $\beta$. Тогда в треугольнике $BNC$ мы имеем $\angle NBC = \beta$ и $\angle BCN = \beta$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. По условию, $\angle BNC = 170^\circ$. Запишем уравнение для суммы углов треугольника $BNC$:
$\angle BNC + \angle NBC + \angle BCN = 180^\circ$

Подставим известные значения и решим уравнение относительно $\beta$:
$170^\circ + \beta + \beta = 180^\circ$
$170^\circ + 2\beta = 180^\circ$
$2\beta = 180^\circ - 170^\circ$
$2\beta = 10^\circ$
$\beta = 5^\circ$

Таким образом, внешний угол данного правильного многоугольника равен $5^\circ$.

Величина внешнего угла правильного $n$-угольника связана с количеством его сторон $n$ формулой:
$\beta = \frac{360^\circ}{n}$

Подставим найденное значение $\beta$ в эту формулу, чтобы найти $n$:
$5^\circ = \frac{360^\circ}{n}$
$n = \frac{360^\circ}{5^\circ}$
$n = 72$

Ответ: 72.