Номер 83, страница 76 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

83. В правильный шестиугольник со стороной $4\sqrt{3}$ см вписана окружность. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

83. В правильный шестиугольник со стороной $4\sqrt{3}$ см вписана окружность. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

Для решения задачи выполним два шага. Сначала найдем радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, а затем, используя этот радиус, найдем сторону правильного треугольника, вписанного в эту же окружность.

Шаг 1: Нахождение радиуса вписанной окружности.
Сторона правильного шестиугольника дана по условию и равна $a_6 = 4\sqrt{3}$ см.
Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник, связан с его стороной $a_6$ следующей формулой:
$r = \frac{a_6 \sqrt{3}}{2}$
Подставим в эту формулу значение стороны шестиугольника:
$r = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Таким образом, радиус вписанной окружности равен 6 см.

Шаг 2: Нахождение стороны правильного треугольника.
Найденная окружность с радиусом $r=6$ см является описанной для правильного треугольника. Радиус описанной окружности для треугольника, который мы обозначим как $R$, равен радиусу вписанной окружности для шестиугольника, то есть $R = r = 6$ см.
Сторона $a_3$ правильного треугольника, вписанного в окружность, связана с радиусом $R$ этой окружности формулой:
$a_3 = R\sqrt{3}$
Подставим значение радиуса $R$:
$a_3 = 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: $6\sqrt{3}$ см.