Номер 89, страница 77 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. Найдите сторону правильного двенадцатиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8A_9A_{10}A_{11}A_{12}$, если его диагональ $A_2A_4$ равна 6 см.

89. Найдите сторону правильного двенадцатиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8A_9A_{10}A_{11}A_{12}$, если его диагональ $A_2A_4$ равна $6$ см.

Пусть правильный двенадцатиугольник $A_1A_2...A_{12}$ вписан в окружность. Обозначим радиус этой окружности как $R$.

Длина стороны правильного n-угольника ($a_n$) и длина его диагонали, соединяющей вершины через $k$ сторон ($d_k$), могут быть выражены через радиус описанной окружности $R$ следующими формулами:

• Сторона: $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$
• Диагональ: $d_k = 2R \sin\left(\frac{(k+1) \cdot 180^\circ}{n}\right)$

В нашем случае мы имеем правильный двенадцатиугольник, поэтому $n=12$. Нам дана диагональ $A_2A_4$, которая соединяет вершины $A_2$ и $A_4$. Между этими вершинами находится одна вершина ($A_3$), то есть диагональ стягивает дугу, содержащую две стороны многоугольника ($A_2A_3$ и $A_3A_4$). Таким образом, для этой диагонали $k=2-1=1$ по количеству промежуточных вершин или, что эквивалентно, она соединяет вершины $A_i$ и $A_{i+2}$, то есть стягивает дугу в $2 \cdot \frac{360^\circ}{12} = 60^\circ$.

Воспользуемся более общей формулой для длины хорды, стягивающей центральный угол $\alpha$: $d = 2R \sin(\alpha/2)$.

Центральный угол, соответствующий одной стороне двенадцатиугольника, равен $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$. Диагональ $A_2A_4$ стягивает дугу, которая опирается на две стороны ($A_2A_3$ и $A_3A_4$), поэтому соответствующий ей центральный угол $\angle A_2OA_4$ (где O — центр окружности) равен $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Длина диагонали (хорды) $A_2A_4$ равна:

$A_2A_4 = 2R \sin\left(\frac{\angle A_2OA_4}{2}\right) = 2R \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 2R \sin(30^\circ)$

По условию $A_2A_4 = 6$ см. Также известно, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставим эти значения в формулу:

$6 = 2R \cdot \frac{1}{2}$

$6 = R$

Итак, радиус описанной окружности равен 6 см.

Теперь найдем сторону двенадцатиугольника, обозначим ее как $a$. Длина стороны соответствует центральному углу $30^\circ$.

$a = 2R \sin\left(\frac{30^\circ}{2}\right) = 2R \sin(15^\circ)$

Подставим найденное значение $R=6$:

$a = 2 \cdot 6 \cdot \sin(15^\circ) = 12 \sin(15^\circ)$

Чтобы найти значение $\sin(15^\circ)$, используем формулу синуса разности:

$\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)$

$\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Наконец, вычисляем длину стороны $a$:

$a = 12 \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = 3(\sqrt{6}-\sqrt{2})$

Ответ: $3(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ см.