Номер 62, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

62. В треугольник со сторонами 17 см, 25 см и 26 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади трёх образовавшихся треугольников.

Вписанной и описанной окружностей.

62. В треугольник со сторонами 17 см, 25 см и 26 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади трёх образовавшихся треугольников.

Пусть стороны данного треугольника равны $a = 17$ см, $b = 25$ см и $c = 26$ см. Когда центр вписанной окружности соединяют с вершинами треугольника, исходный треугольник разделяется на три меньших треугольника. Основаниями этих трех треугольников являются стороны исходного треугольника ($a$, $b$ и $c$), а их высоты, проведенные из общего центра к этим сторонам, равны радиусу вписанной окружности $r$.

Таким образом, площади трех образовавшихся треугольников ($S_1$, $S_2$, $S_3$) вычисляются по формулам:

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r$

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r$

$S_3 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r$

Для нахождения этих площадей необходимо сначала вычислить радиус вписанной окружности $r$. Для этого воспользуемся формулой, связывающей площадь треугольника $S$ с его полупериметром $p$ и радиусом вписанной окружности: $S = p \cdot r$, откуда $r = \frac{S}{p}$.

1. Найдём полупериметр треугольника $p$

Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон:

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{17 + 25 + 26}{2} = \frac{68}{2} = 34$ см.

2. Найдём площадь исходного треугольника $S$ по формуле Герона

Формула Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Подставим наши значения:

$p-a = 34 - 17 = 17$

$p-b = 34 - 25 = 9$

$p-c = 34 - 26 = 8$

$S = \sqrt{34 \cdot 17 \cdot 9 \cdot 8} = \sqrt{(2 \cdot 17) \cdot 17 \cdot 3^2 \cdot (2^2 \cdot 2)} = \sqrt{17^2 \cdot 3^2 \cdot 2^4} = 17 \cdot 3 \cdot 2^2 = 17 \cdot 3 \cdot 4 = 204$ см².

3. Найдём радиус вписанной окружности $r$

$r = \frac{S}{p} = \frac{204}{34} = 6$ см.

4. Найдём площади трёх образовавшихся треугольников

Теперь, зная радиус, мы можем найти площади каждого из трёх треугольников:

• Площадь треугольника с основанием 17 см:
  $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 6 = 51$ см².
• Площадь треугольника с основанием 25 см:
  $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 6 = 75$ см².
• Площадь треугольника с основанием 26 см:
  $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot 6 = 78$ см².

Ответ: площади трёх образовавшихся треугольников равны 51 см², 75 см² и 78 см².