Номер 13, страница 12, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 1. Система отсчёта, траектория, путь и перемещение - номер 13, страница 12.

Условие.

º13. Предложите несколько примеров траектории точки, если известно, что пройденный ею путь в 3 раза больше модуля её перемещения.

Решение 2.

Путь $\text{S}$ — это скалярная величина, равная длине, пройденной точкой вдоль траектории. Перемещение $\vec{\Delta r}$ — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение точки, а его модуль $|\vec{\Delta r}|$ — это расстояние по прямой между этими точками. Условие, что пройденный путь в 3 раза больше модуля перемещения ($S = 3|\vec{\Delta r}|$), означает, что траектория движения не является прямолинейной и однонаправленной, так как в противном случае было бы $S = |\vec{\Delta r}|$. Ниже приведено несколько примеров таких траекторий.

Пример 1. Движение по прямой с возвратом

Пусть точка начинает движение из некоторой начальной точки, движется по прямой в одном направлении на расстояние $L_1$, а затем разворачивается и движется в обратном направлении на расстояние $L_2$.

Пройденный путь в этом случае составляет $S = L_1 + L_2$.

Модуль перемещения равен расстоянию от начальной до конечной точки: $|\vec{\Delta r}| = |L_1 - L_2|$.

Согласно условию задачи, $S = 3|\vec{\Delta r}|$, что приводит к уравнению: $L_1 + L_2 = 3|L_1 - L_2|$.

Рассмотрим случай, когда точка не доходит до начальной точки при движении назад, то есть $L_1 > L_2$. Тогда уравнение принимает вид:

$L_1 + L_2 = 3(L_1 - L_2)$

$L_1 + L_2 = 3L_1 - 3L_2$

$4L_2 = 2L_1$

$L_1 = 2L_2$.

Таким образом, если точка пройдет в одном направлении расстояние, вдвое большее, чем расстояние, которое она пройдет в обратном направлении, условие будет выполнено. Например, движение на 2 метра вправо, а затем на 1 метр влево. Путь составит $2 м + 1 м = 3$ м, а модуль перемещения — $|2 м - 1 м| = 1$ м, что удовлетворяет условию $3 м = 3 \cdot 1 м$.

Ответ: Траектория представляет собой движение по прямой на расстояние $2L$ в одном направлении, а затем движение в обратном направлении на расстояние $\text{L}$.

Пример 2. Движение по сторонам квадрата

Рассмотрим движение точки по сторонам квадрата со стороной $\text{a}$. Пусть точка начинает движение в одной из вершин и движется последовательно вдоль трех его сторон.

Пройденный путь в этом случае равен сумме длин трех сторон: $S = a + a + a = 3a$.

Начальная точка — это первая вершина, а конечная — противоположная ей вершина (по диагонали квадрата, если бы мы шли по ней). Однако, двигаясь по сторонам, конечной точкой будет вершина, с которой начиналась бы четвертая сторона. Расстояние по прямой между начальной и конечной точками равно длине одной стороны квадрата.

Модуль перемещения равен $|\vec{\Delta r}| = a$.

Проверяем условие задачи: $S = 3a$ и $|\vec{\Delta r}| = a$. Отношение $\frac{S}{|\vec{\Delta r}|} = \frac{3a}{a} = 3$. Условие выполнено.

Ответ: Траектория представляет собой три последовательные стороны квадрата.

Пример 3. Движение по дуге окружности

Пусть точка движется по дуге окружности радиуса $\text{R}$. Длина дуги (пройденный путь) равна $S = R\theta$, где $\theta$ — центральный угол, описывающий дугу, в радианах.

Модуль перемещения — это длина хорды, стягивающей эту дугу. Длина хорды вычисляется по формуле $|\vec{\Delta r}| = 2R\sin(\frac{\theta}{2})$.

Подставим эти выражения в условие задачи $S = 3|\vec{\Delta r}|$:

$R\theta = 3 \cdot \left(2R\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$

Сократив $\text{R}$, получим уравнение для угла $\theta$:

$\theta = 6\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$.

Это трансцендентное уравнение, помимо тривиального решения $\theta=0$, имеет и нетривиальное решение, которое можно найти численными методами. Это решение составляет $\theta \approx 4.56$ радиан, что равно примерно $261^\circ$.

Ответ: Траектория представляет собой дугу окружности, которая стягивает центральный угол $\theta \approx 4.56$ радиан (или $\approx 261^\circ$).