Номер 20, страница 15, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 1. Система отсчёта, траектория, путь и перемещение - номер 20, страница 15.

Условие.

20. Самолёт взлетел на Северном полюсе, пролетел до экватора вдоль меридиана, после чего повернул на $90^\circ$ и пролетел ещё 10 000 км. Во сколько раз проделанный самолётом путь больше модуля его перемещения? Считайте Землю шаром, длину экватора примите равной 40 000 км.

Решение 2.

Дано

Длина экватора $L_{э} = 40 \, 000$ км

Путь, пройденный по экватору $S_2 = 10 \, 000$ км

$L_{э} = 40 \, 000 \cdot 10^3 \text{ м} = 4 \cdot 10^7 \text{ м}$

$S_2 = 10 \, 000 \cdot 10^3 \text{ м} = 1 \cdot 10^7 \text{ м}$

Найти:

Отношение пройденного пути $\text{S}$ к модулю перемещения $|\Delta\vec{r}|$, то есть $k = \frac{S}{|\Delta\vec{r}|}$.

Решение

1. Сначала найдём полный путь $\text{S}$, который пролетел самолёт. Путь состоит из двух участков: полёта от Северного полюса до экватора по меридиану ($S_1$) и полёта вдоль экватора ($S_2$).

Расстояние от Северного полюса до экватора вдоль меридиана составляет четверть длины меридиана. Поскольку Земля принята за шар, длина любого меридиана (большого круга, проходящего через полюса) равна длине экватора $L_{э}$.

$S_1 = \frac{L_{э}}{4} = \frac{40 \, 000 \text{ км}}{4} = 10 \, 000 \text{ км}$

Длина второго участка пути дана в условии: $S_2 = 10 \, 000 \text{ км}$.

Таким образом, полный путь, пройденный самолётом, равен:

$S = S_1 + S_2 = 10 \, 000 \text{ км} + 10 \, 000 \text{ км} = 20 \, 000 \text{ км}$

2. Теперь найдём модуль перемещения $|\Delta\vec{r}|$. Перемещение — это кратчайшее расстояние между начальной и конечной точками, то есть длина хорды, соединяющей эти точки внутри земного шара.

Для удобства расчётов введём трёхмерную декартову систему координат с началом в центре Земли (O). Ось $Oz$ направим через Северный полюс, а плоскость $Oxy$ совместим с плоскостью экватора.

Радиус Земли $\text{R}$ найдём из длины экватора: $L_{э} = 2\pi R$.

$R = \frac{L_{э}}{2\pi} = \frac{40 \, 000}{2\pi} = \frac{20 \, 000}{\pi} \text{ км}$

Начальная точка (А) — Северный полюс. Её координаты: $А(0, 0, R)$.

Самолёт летит до экватора в точку (Б). Для определённости, пусть эта точка лежит на оси $Ox$. Её координаты: $Б(R, 0, 0)$.

Далее самолёт летит вдоль экватора расстояние $S_2 = 10 \, 000 \text{ км}$ до конечной точки (В). Это расстояние является длиной дуги. Найдём центральный угол $\alpha$, который соответствует этой дуге, по формуле $S_2 = R \cdot \alpha$ (где $\alpha$ в радианах):

$\alpha = \frac{S_2}{R} = \frac{10 \, 000}{20 \, 000 / \pi} = \frac{\pi}{2} \text{ радиан}$

Угол $\alpha = \pi/2$ соответствует $90^\circ$. Это значит, что положение конечной точки (В) на экваторе смещено на $90^\circ$ относительно точки (Б). Если точка (Б) была на оси $Ox$, то точка (В) окажется на оси $Oy$. Координаты конечной точки: $В(0, R, 0)$.

Модуль перемещения — это расстояние между начальной точкой А и конечной точкой В:

$|\Delta\vec{r}| = |\vec{АВ}| = \sqrt{(x_В - x_А)^2 + (y_В - y_А)^2 + (z_В - z_А)^2}$

$|\Delta\vec{r}| = \sqrt{(0 - 0)^2 + (R - 0)^2 + (0 - R)^2} = \sqrt{0 + R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$

3. Найдём искомое отношение пути к модулю перемещения:

$k = \frac{S}{|\Delta\vec{r}|} = \frac{20 \, 000 \text{ км}}{R\sqrt{2}} = \frac{20 \, 000}{\frac{20 \, 000}{\pi} \sqrt{2}} = \frac{20 \, 000 \cdot \pi}{20 \, 000 \sqrt{2}} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$

Ответ: Проделанный самолётом путь больше модуля его перемещения в $\frac{\pi}{\sqrt{2}}$ раз (что примерно равно 2,22 раза).