Номер 19, страница 26, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава V. Молекулярная физика. Параграф 27. Уравнение состояния идеального газа - номер 19, страница 26.

Условие.

°19. Докажите справедливость формулы $p = nkT$.

Решение 2.

Решение

Для доказательства данной формулы необходимо отталкиваться от уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $\text{p}$ — давление газа, $\text{V}$ — его объем, $\text{m}$ — масса газа, $\text{M}$ — молярная масса газа, $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная, а $\text{T}$ — абсолютная температура.

Количество вещества $\nu$ можно выразить двумя способами:

1. Через массу и молярную массу: $\nu = \frac{m}{M}$

2. Через число частиц $\text{N}$ и постоянную Авогадро $N_A$: $\nu = \frac{N}{N_A}$

Приравняем правые части этих выражений: $\frac{m}{M} = \frac{N}{N_A}$.

Теперь подставим это соотношение в исходное уравнение состояния идеального газа:

$pV = \frac{N}{N_A}RT$

По определению, постоянная Больцмана $\text{k}$ — это физическая постоянная, равная отношению универсальной газовой постоянной к постоянной Авогадро:

$k = \frac{R}{N_A}$

Из этого соотношения можно выразить универсальную газовую постоянную: $R = kN_A$.

Подставим выражение для $\text{R}$ в наше уравнение:

$pV = \frac{N}{N_A}(kN_A)T$

Сократив постоянную Авогадро $N_A$ в правой части, получим уравнение Клапейрона:

$pV = NkT$

Концентрация частиц $\text{n}$ по определению — это число частиц $\text{N}$ в единице объема $\text{V}$:

$n = \frac{N}{V}$

Чтобы получить искомую формулу, разделим обе части уравнения Клапейрона на объем $\text{V}$:

$p = \frac{N}{V}kT$

Заменив дробь $\frac{N}{V}$ на концентрацию $\text{n}$, мы приходим к окончательному выражению:

$p = nkT$

Таким образом, справедливость формулы доказана.

Ответ: Формула $p = nkT$ доказана путем преобразования уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона) с использованием определений количества вещества, постоянной Авогадро, постоянной Больцмана и концентрации молекул.