Номер 24, страница 27, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава V. Молекулярная физика. Параграф 27. Уравнение состояния идеального газа - номер 24, страница 27.

Условие.

24. В некотором процессе температура и объём данной массы газа связаны соотношением $TV^2 = \text{const}$. Поставьте четыре вопроса по этой ситуации и найдите ответы на них.

Решение 2.

Заданный процесс описывается соотношением $TV^2 = \text{const}$ для данной массы идеального газа. Такой процесс, в котором теплоёмкость газа остаётся постоянной, называется политропным. Для определения его характеристик воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона): $PV = \nu RT$. Отсюда можно выразить температуру: $T = \frac{PV}{\nu R}$.

Подставим это выражение в заданное уравнение процесса:

$\left(\frac{PV}{\nu R}\right)V^2 = \text{const}$

$\frac{P V^3}{\nu R} = \text{const}$

Поскольку количество вещества $\nu$ и универсальная газовая постоянная $\text{R}$ являются константами для данной массы газа, их произведение также является константой. Таким образом, уравнение процесса можно записать в стандартном виде для политропного процесса $PV^n = \text{const}$:

$PV^3 = \text{const}$

Здесь показатель политропы $n=3$. Теперь мы можем сформулировать и ответить на четыре вопроса, касающихся этого процесса.

1. Как связаны между собой давление $\text{P}$ и температура $\text{T}$ газа в данном процессе?

Решение:

Для нахождения зависимости между давлением и температурой воспользуемся уравнением процесса $PV^3 = \text{const}$ и уравнением состояния идеального газа $PV = \nu RT$. Из уравнения состояния выразим объём $V = \frac{\nu RT}{P}$ и подставим его в уравнение процесса:

$P \left(\frac{\nu RT}{P}\right)^3 = \text{const}$

$P \frac{(\nu R)^3 T^3}{P^3} = \text{const}$

$\frac{T^3}{P^2} = \text{const} \cdot \frac{1}{(\nu R)^3}$

Правая часть этого равенства — константа, поэтому можно записать, что $\frac{T^3}{P^2} = \text{const}$. Это означает, что отношение $T^3/P^2$ остаётся постоянным в ходе всего процесса. Эту зависимость можно также представить в виде $P^2 \propto T^3$ или $P \propto T^{3/2}$.

Ответ: Давление и температура газа связаны соотношением $\frac{P^2}{T^3} = \text{const}$.

2. Как изменится давление газа, если его объём увеличить в 2 раза?

Решение:

Используем уравнение процесса $PV^3 = \text{const}$. Пусть начальное состояние газа характеризуется параметрами $P_1$ и $V_1$, а конечное — $P_2$ и $V_2$. Тогда справедливо равенство:

$P_1 V_1^3 = P_2 V_2^3$

По условию, объём увеличивается в 2 раза, то есть $V_2 = 2V_1$. Выразим отсюда конечное давление $P_2$:

$P_2 = P_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^3 = P_1 \left(\frac{V_1}{2V_1}\right)^3 = P_1 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{P_1}{8}$

Следовательно, давление газа уменьшится в 8 раз.

Ответ: Давление уменьшится в 8 раз.

3. Чему равна молярная теплоёмкость газа в данном процессе?

Решение:

Молярная теплоёмкость $\text{C}$ в политропном процессе $PV^n = \text{const}$ вычисляется по формуле:

$C = C_V + \frac{R}{1-n}$

где $C_V$ — молярная теплоёмкость при постоянном объёме, $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная, а $\text{n}$ — показатель политропы. В нашем случае $n=3$.

$C = C_V + \frac{R}{1-3} = C_V - \frac{R}{2}$

Значение $C_V$ зависит от строения молекул газа (числа степеней свободы $\text{i}$, так как $C_V = \frac{i}{2}R$). Например: для одноатомного газа ($i=3$, $C_V = \frac{3}{2}R$) теплоёмкость $C = \frac{3}{2}R - \frac{R}{2} = R$; для двухатомного ($i=5$, $C_V = \frac{5}{2}R$) $C = \frac{5}{2}R - \frac{R}{2} = 2R$; для многоатомного ($i=6$, $C_V = 3R$) $C = 3R - \frac{R}{2} = \frac{5}{2}R$. Поскольку тип газа не указан, ответ следует дать в общем виде.

Ответ: Молярная теплоёмкость газа в этом процессе равна $C = C_V - \frac{R}{2}$.

4. Какую работу совершает газ при расширении от объёма $V_1$ до объёма $V_2$?

Решение:

Работа газа $\text{A}$ в термодинамическом процессе вычисляется как интеграл:

$A = \int_{V_1}^{V_2} P dV$

Из уравнения процесса $PV^3 = K$ (где $K = P_1V_1^3$ — константа), выразим давление $P = \frac{K}{V^3}$ и подставим в интеграл:

$A = \int_{V_1}^{V_2} \frac{K}{V^3} dV = K \int_{V_1}^{V_2} V^{-3} dV = K \left[ \frac{V^{-2}}{-2} \right]_{V_1}^{V_2} = -\frac{K}{2} \left( \frac{1}{V_2^2} - \frac{1}{V_1^2} \right) = \frac{K}{2} \left( \frac{1}{V_1^2} - \frac{1}{V_2^2} \right)$

Подставив $K = P_1V_1^3 = P_2V_2^3$, получим:

$A = \frac{1}{2} \left( \frac{P_1V_1^3}{V_1^2} - \frac{P_2V_2^3}{V_2^2} \right) = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{2}$

Этот же результат можно получить, используя общую формулу для работы в политропном процессе с показателем $n=3$: $A = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{n-1}$.

Используя уравнение состояния $PV = \nu RT$, работу можно также выразить через изменение температуры:

$A = \frac{\nu R T_1 - \nu R T_2}{2} = \frac{\nu R (T_1 - T_2)}{2}$

Ответ: Работа, совершаемая газом при расширении от объёма $V_1$ до $V_2$, равна $A = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{2}$.