Номер 11, страница 51, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава V. Молекулярная физика. Параграф 30. Свойства жидкостей и твёрдых тел - номер 11, страница 51.

Условие.

11. Стальная вертикальная опора в виде цилиндрической колонны высотой $2 \text{ м}$ должна выдерживать вес груза массой $100 \text{ т}$, причём сжатие опоры не должно превышать $2 \text{ мм}$. Каков минимально допустимый диаметр колонны? Модуль Юнга для стали примите равным $200 \text{ ГПа}$.

Решение 2.

Дано:

Высота колонны, $L = 2$ м

Масса груза, $m = 100$ т

Максимальное сжатие, $\Delta L \le 2$ мм

Модуль Юнга для стали, $E = 200$ ГПа

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$m = 100 \cdot 1000 = 10^5$ кг

$\Delta L = 2 \cdot 10^{-3}$ м

$E = 200 \cdot 10^9 = 2 \cdot 10^{11}$ Па

Найти:

Минимально допустимый диаметр колонны, $d_{min}$

Решение:

Согласно закону Гука, механическое напряжение $\sigma$ и относительная деформация $\epsilon$ связаны через модуль упругости (модуль Юнга) $\text{E}$:

$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$

Механическое напряжение $\sigma$ определяется как отношение силы $\text{F}$, действующей перпендикулярно сечению, к площади этого сечения $\text{S}$:

$\sigma = \frac{F}{S}$

В нашем случае сила $\text{F}$ — это вес груза, который давит на колонну: $F = m \cdot g$.

Относительная деформация (сжатие) $\epsilon$ — это отношение абсолютного сжатия $\Delta L$ к первоначальной высоте колонны $\text{L}$:

$\epsilon = \frac{\Delta L}{L}$

Объединяя эти формулы, получаем выражение для модуля Юнга:

$E = \frac{F/S}{\Delta L/L} = \frac{F \cdot L}{S \cdot \Delta L}$

Чтобы найти минимально допустимый диаметр, мы должны использовать максимально допустимое сжатие $\Delta L = 2$ мм. Это даст нам минимально необходимую площадь поперечного сечения $\text{S}$. Выразим $\text{S}$ из формулы:

$S = \frac{F \cdot L}{E \cdot \Delta L}$

Сначала вычислим силу $\text{F}$:

$F = m \cdot g = 10^5 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 9.8 \cdot 10^5$ Н

Теперь рассчитаем минимальную площадь поперечного сечения $\text{S}$:

$S = \frac{9.8 \cdot 10^5 \text{ Н} \cdot 2 \text{ м}}{2 \cdot 10^{11} \text{ Па} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = \frac{19.6 \cdot 10^5}{4 \cdot 10^8} = 4.9 \cdot 10^{-3}$ м²

Поперечное сечение цилиндрической колонны представляет собой круг. Площадь круга $\text{S}$ связана с его диаметром $\text{d}$ соотношением:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Отсюда можно выразить диаметр $\text{d}$:

$d^2 = \frac{4S}{\pi} \implies d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}$

Подставим значение площади $\text{S}$ и вычислим минимально допустимый диаметр:

$d = \sqrt{\frac{4 \cdot 4.9 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2}{\pi}} = \sqrt{\frac{19.6 \cdot 10^{-3}}{\pi} \text{ м}^2} \approx \sqrt{6.239 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2} \approx 0.079$ м

Переведем результат в более удобные единицы, например, в сантиметры:

$d \approx 0.079 \text{ м} = 7.9$ см

Ответ: Минимально допустимый диаметр колонны составляет примерно 7.9 см.