Номер 8, страница 51, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава V. Молекулярная физика. Параграф 30. Свойства жидкостей и твёрдых тел - номер 8, страница 51.

Условие.

8. Докажите, что справедлива формула $\sigma = E\varepsilon$.

Решение 2.

Формула $\sigma = E\varepsilon$ является одной из форм записи закона Гука, который описывает упругие свойства материалов. Она устанавливает прямую пропорциональную зависимость между механическим напряжением ($\sigma$) и относительной деформацией ($\varepsilon$) в пределах упругости материала. Доказательство этой формулы основывается на определениях этих величин и на экспериментально установленном законе Гука.

Решение

1. Начнем с экспериментального закона Гука, который гласит, что сила упругости $\text{F}$, возникающая при деформации тела, прямо пропорциональна его абсолютному удлинению (или сжатию) $\Delta L$.

$F = k \cdot \Delta L$

где $\text{k}$ — коэффициент жесткости тела, зависящий от его материала и геометрических размеров.

2. Коэффициент жесткости $\text{k}$ для стержня с начальной длиной $L_0$ и площадью поперечного сечения $\text{A}$ можно выразить через модуль упругости $\text{E}$ (модуль Юнга), который является характеристикой самого материала. Экспериментально установлено, что жесткость прямо пропорциональна площади поперечного сечения $\text{A}$ и обратно пропорциональна длине $L_0$:

$k = E \cdot \frac{A}{L_0}$

3. Подставим это выражение для $\text{k}$ в исходную формулу закона Гука:

$F = \left(E \cdot \frac{A}{L_0}\right) \cdot \Delta L$

4. Преобразуем полученное уравнение. Разделим обе части на площадь поперечного сечения $\text{A}$:

$\frac{F}{A} = E \cdot \frac{\Delta L}{L_0}$

5. Введем определения для величин, стоящих в левой и правой частях уравнения:

• Механическое напряжение $\sigma$ — это отношение силы упругости $\text{F}$ к площади поперечного сечения $\text{A}$, на которую она действует: $\sigma = \frac{F}{A}$.
• Относительное удлинение (или относительная деформация) $\varepsilon$ — это безразмерная величина, равная отношению абсолютного удлинения $\Delta L$ к начальной длине тела $L_0$: $\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$.

6. Заменив в преобразованном уравнении отношения $\frac{F}{A}$ и $\frac{\Delta L}{L_0}$ на их обозначения $\sigma$ и $\varepsilon$ соответственно, получаем искомую формулу:

$\sigma = E \cdot \varepsilon$

Это и доказывает справедливость данной формулы.

Ответ: Формула $\sigma = E\varepsilon$ выводится из экспериментального закона Гука $F = k \cdot \Delta L$ путем выражения коэффициента жесткости $\text{k}$ через модуль упругости $\text{E}$ и геометрические параметры тела ($k = E \frac{A}{L_0}$), и последующего введения понятий механического напряжения ($\sigma = \frac{F}{A}$) и относительной деформации ($\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$).