Номер 32, страница 124, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 38. Работа электрического поля. Разность потенциалов (напряжение) - номер 32, страница 124.

Условие.

32. Шарик массой $\text{m}$ с зарядом $+q$, подвешенный на длинной нити, находится в электростатическом поле, модуль напряжённости которого равен $\text{E}$, а вектор напряжённости направлен вниз. Нить отклоняют на $90^\circ$ от вертикали и отпускают без толчка. Чему равен модуль силы натяжения нити, когда шарик проходит положение равновесия?

Решение 2.

Дано:

Масса шарика: $ m $
Заряд шарика: $ +q $
Модуль напряженности электростатического поля: $ E $
Начальный угол отклонения от вертикали: $ \alpha = 90^{\circ} $
Начальная скорость: $ v_0 = 0 $

Найти:

Модуль силы натяжения нити в положении равновесия: $ T $

Решение:

На шарик действуют три силы: сила тяжести $ \vec{F}_g = m\vec{g} $, электрическая сила $ \vec{F}_e = q\vec{E} $ и сила натяжения нити $ \vec{T} $. Так как заряд шарика $ q $ положителен, а вектор напряженности $ \vec{E} $ направлен вниз, электрическая сила $ \vec{F}_e $ также направлена вертикально вниз. Сила тяжести $ \vec{F}_g $ тоже направлена вертикально вниз. Таким образом, на шарик действует суммарная постоянная сила, направленная вниз, равная $ F_{сум} = mg + qE $. Сила натяжения нити $ \vec{T} $ направлена вдоль нити к точке подвеса.

Положение равновесия для данного маятника — это нижняя точка траектории, где нить расположена вертикально.

Для нахождения скорости шарика $ v $ в положении равновесия воспользуемся законом сохранения энергии. Сила натяжения нити в любой момент времени перпендикулярна вектору скорости шарика, поэтому ее работа равна нулю. Силы тяжести и электрическая сила являются консервативными. За нулевой уровень потенциальной энергии примем положение равновесия (нижнюю точку траектории).

В начальном положении нить отклонена на 90° от вертикали. Если длина нити равна $ L $, то начальная высота шарика над положением равновесия равна $ L $. Начальная скорость шарика равна нулю. Полная энергия в начальном положении (1) равна сумме потенциальных энергий в поле тяжести и электростатическом поле:

$ W_1 = W_{p1} = mgh_1 + qEh_1 = (mg + qE)L $

В положении равновесия (2) высота шарика $ h_2 = 0 $, а его скорость равна $ v $. Полная энергия в этом положении равна кинетической энергии шарика:

$ W_2 = W_{k2} = \frac{mv^2}{2} $

Согласно закону сохранения энергии, $ W_1 = W_2 $:

$ (mg + qE)L = \frac{mv^2}{2} $

Отсюда найдем величину $ mv^2 $:

$ mv^2 = 2(mg + qE)L $

Теперь рассмотрим движение шарика в положении равновесия. В этой точке на шарик действуют: сила натяжения $ T $, направленная вверх, сила тяжести $ mg $ и электрическая сила $ qE $, направленные вниз. Ускорение шарика является центростремительным и направлено также вверх, к центру окружности (точке подвеса). Модуль центростремительного ускорения равен $ a_c = \frac{v^2}{L} $.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$ T - mg - qE = ma_c $

$ T - (mg + qE) = \frac{mv^2}{L} $

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $ mv^2 $:

$ T - (mg + qE) = \frac{2(mg + qE)L}{L} $

$ T - (mg + qE) = 2(mg + qE) $

Выразим отсюда силу натяжения нити $ T $:

$ T = 2(mg + qE) + (mg + qE) = 3(mg + qE) $

Ответ: $ T = 3(mg + qE) $