Номер 5, страница 160, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VIII. Постоянный электрический ток. Параграф 42. Закон Ома для полной цепи - номер 5, страница 160.

Условие.

5. Ученик решил измерить ЭДС источника тока $\mathcal{E}$ и его внутреннее сопротивление $\text{r}$. Для этого он измерил значения силы тока $I_1$ и $I_2$ при двух известных значениях сопротивления внешней цепи $R_1$ и $R_2$. В результате он получил систему двух уравнений с двумя неизвестными: $\mathcal{E}$ и $\text{r}$.

а) Запишите эту систему уравнений.

б) Выразите внутреннее сопротивление $\text{r}$ через $R_1$, $R_2$, $I_1$, $I_2$.

в) Выразите ЭДС источника $\mathcal{E}$ через $R_1$, $R_2$, $I_1$, $I_2$.

Решение 2.

Решение

а) Запишите эту систему уравнений.

Закон Ома для полной цепи гласит, что сила тока $\text{I}$ в цепи равна отношению ЭДС источника $\mathcal{E}$ к полному сопротивлению цепи, которое складывается из внешнего сопротивления $\text{R}$ и внутреннего сопротивления источника $\text{r}$. Математически это выражается формулой: $I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$.

Применяя этот закон для двух измерений, получаем два уравнения:

1. Для первого случая с сопротивлением $R_1$ и током $I_1$: $\mathcal{E} = I_1(R_1 + r)$.

2. Для второго случая с сопротивлением $R_2$ и током $I_2$: $\mathcal{E} = I_2(R_2 + r)$.

Эти два уравнения составляют искомую систему с двумя неизвестными $\mathcal{E}$ и $\text{r}$.

Ответ: $\begin{cases} \mathcal{E} = I_1(R_1 + r) \\ \mathcal{E} = I_2(R_2 + r) \end{cases}$

б) Выразите внутреннее сопротивление r через $R_1, R_2, I_1, I_2$.

Поскольку левые части обоих уравнений системы равны (обе равны $\mathcal{E}$), мы можем приравнять их правые части:

$I_1(R_1 + r) = I_2(R_2 + r)$

Раскроем скобки в уравнении:

$I_1 R_1 + I_1 r = I_2 R_2 + I_2 r$

Теперь сгруппируем члены, содержащие неизвестное $\text{r}$, в одной части уравнения, а остальные члены — в другой:

$I_1 r - I_2 r = I_2 R_2 - I_1 R_1$

Вынесем $\text{r}$ за скобки:

$r(I_1 - I_2) = I_2 R_2 - I_1 R_1$

Наконец, разделив обе части на $(I_1 - I_2)$, получим выражение для внутреннего сопротивления $\text{r}$:

Ответ: $r = \frac{I_2 R_2 - I_1 R_1}{I_1 - I_2}$

в) Выразите ЭДС источника $\mathcal{E}$ через $R_1, R_2, I_1, I_2$.

Чтобы найти ЭДС $\mathcal{E}$, подставим выражение для $\text{r}$, полученное в пункте б), в любое из уравнений исходной системы. Воспользуемся первым уравнением: $\mathcal{E} = I_1(R_1 + r)$.

$\mathcal{E} = I_1 \left( R_1 + \frac{I_2 R_2 - I_1 R_1}{I_1 - I_2} \right)$

Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю $(I_1 - I_2)$:

$\mathcal{E} = I_1 \left( \frac{R_1(I_1 - I_2) + I_2 R_2 - I_1 R_1}{I_1 - I_2} \right)$

Раскроем скобки в числителе дроби:

$\mathcal{E} = I_1 \left( \frac{I_1 R_1 - I_2 R_1 + I_2 R_2 - I_1 R_1}{I_1 - I_2} \right)$

В числителе $I_1 R_1$ и $-I_1 R_1$ взаимно уничтожаются:

$\mathcal{E} = I_1 \left( \frac{I_2 R_2 - I_2 R_1}{I_1 - I_2} \right)$

Вынесем $I_2$ за скобки в числителе и получим окончательное выражение для ЭДС:

$\mathcal{E} = \frac{I_1 I_2 (R_2 - R_1)}{I_1 - I_2}$

Ответ: $\mathcal{E} = \frac{I_1 I_2 (R_2 - R_1)}{I_1 - I_2}$