Номер 2, страница 159, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VIII. Постоянный электрический ток. Параграф 42. Закон Ома для полной цепи - номер 2, страница 159.

Условие.

2. Докажите, что написанное выше соотношение можно переписать в виде $I^2Rt + I^2rt = \mathcal{E}It.$

Решение 2.

Дано:

В качестве исходного соотношения, упомянутого в условии как "написанное выше", принимаем закон Ома для полной цепи, так как итоговое уравнение описывает энергетический баланс в такой цепи. Закон Ома для полной цепи имеет вид:

$I = \frac{\mathscr{E}}{R + r}$

где $\text{I}$ — сила тока в цепи, $\mathscr{E}$ — электродвижущая сила (ЭДС) источника, $\text{R}$ — сопротивление внешней цепи, $\text{r}$ — внутреннее сопротивление источника.

Найти:

Доказать, что исходное соотношение можно преобразовать к виду: $I^2Rt + I^2rt = \mathscr{E}It$.

Решение:

Начнем с формулы закона Ома для полной цепи:

$I = \frac{\mathscr{E}}{R + r}$

Для того чтобы выразить ЭДС, умножим обе части этого уравнения на знаменатель $(R + r)$:

$I(R + r) = \mathscr{E}$

Теперь раскроем скобки в левой части уравнения:

$IR + Ir = \mathscr{E}$

Полученное равенство является следствием второго правила Кирхгофа для замкнутого контура: ЭДС источника равна сумме падений напряжения на внешнем сопротивлении ($U_{ext} = IR$) и на внутреннем сопротивлении ($U_{int} = Ir$).

Следующим шагом перейдем от соотношения для напряжений к соотношению для энергий. Для этого умножим обе части уравнения на величину $It$. Физически это соответствует умножению на заряд $q = It$, который прошел через каждый элемент цепи за время $\text{t}$.

$(IR + Ir) \cdot It = \mathscr{E} \cdot It$

Раскроем скобки в левой части, умножив каждый член на $It$:

$IR \cdot It + Ir \cdot It = \mathscr{E}It$

Сгруппируем множители в левой части, чтобы получить искомую форму:

$I^2Rt + I^2rt = \mathscr{E}It$

Мы получили требуемое соотношение. Оно представляет собой закон сохранения энергии для данной электрической цепи. Слагаемое $\mathscr{E}It$ — это полная работа, совершаемая сторонними силами источника тока. Слагаемое $I^2Rt$ — это количество теплоты, выделившееся на внешнем сопротивлении (закон Джоуля-Ленца). Слагаемое $I^2rt$ — это количество теплоты, выделившееся на внутреннем сопротивлении источника. Таким образом, вся работа источника превращается в теплоту.

Ответ: Утверждение доказано. Исходное соотношение (закон Ома для полной цепи) путем последовательных алгебраических преобразований — умножения на $(R+r)$ и затем на $It$ — приводится к требуемому виду $I^2Rt + I^2rt = \mathscr{E}It$.