Номер 37, страница 157, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VIII. Постоянный электрический ток. Параграф 41. Работа и мощность тока - номер 37, страница 157.

Условие.

37. К источнику постоянного тока с напряжением 2 В подключают концы медного теплоизолированного провода длиной 10 м. За какой промежуток времени температура провода увеличится на 10 °С, если изменением сопротивления проводника при нагревании можно пренебречь?

Решение 2.

Дано:

Напряжение источника тока, $U = 2$ В
Длина медного провода, $L = 10$ м
Изменение температуры, $\Delta T = 10$ °С
Провод теплоизолирован.

Все данные представлены в системе СИ. Для решения задачи потребуются справочные данные для меди:
Удельное электрическое сопротивление, $\rho_e = 1.7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м
Плотность, $\rho_m = 8900$ кг/м³
Удельная теплоемкость, $c = 385$ Дж/(кг·°С)

Найти:

Промежуток времени $\text{t}$.

Решение:

Так как провод теплоизолирован, то вся теплота, выделяемая при прохождении электрического тока, идет на его нагревание. Таким образом, количество теплоты, выделенное по закону Джоуля-Ленца ($Q_{электр}$), равно количеству теплоты, поглощенному проводом при нагревании ($Q_{нагр}$).

$Q_{электр} = Q_{нагр}$

Количество теплоты, выделяемое током, определяется формулой:

$Q_{электр} = P \cdot t = \frac{U^2}{R} t$

где $\text{P}$ — мощность тока, $\text{t}$ — время, $\text{U}$ — напряжение, $\text{R}$ — сопротивление провода.

Количество теплоты, необходимое для нагрева провода, рассчитывается по формуле:

$Q_{нагр} = c \cdot m \cdot \Delta T$

где $\text{c}$ — удельная теплоемкость меди, $\text{m}$ — масса провода, $\Delta T$ — изменение температуры.

Сопротивление провода $\text{R}$ и его массу $\text{m}$ можно выразить через его длину $\text{L}$, площадь поперечного сечения $\text{S}$ и физические константы меди:

$R = \rho_e \frac{L}{S}$

$m = \rho_m \cdot V = \rho_m \cdot L \cdot S$

где $\rho_e$ — удельное сопротивление, а $\rho_m$ — плотность меди.

Приравнивая выражения для $Q_{электр}$ и $Q_{нагр}$ и подставляя формулы для $\text{R}$ и $\text{m}$, получаем:

$\frac{U^2}{\rho_e \frac{L}{S}} t = c \cdot (\rho_m L S) \cdot \Delta T$

Упростим выражение:

$\frac{U^2 S}{\rho_e L} t = c \rho_m L S \Delta T$

Площадь поперечного сечения $\text{S}$ сокращается, что означает, что результат не зависит от толщины провода. Выразим искомое время $\text{t}$:

$t = \frac{c \rho_m L S \Delta T \cdot \rho_e L}{U^2 S} = \frac{c \rho_m \rho_e L^2 \Delta T}{U^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$t = \frac{385 \frac{Дж}{кг \cdot °С} \cdot 8900 \frac{кг}{м^3} \cdot 1.7 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м \cdot (10 м)^2 \cdot 10 °С}{(2 В)^2}$

$t = \frac{385 \cdot 8900 \cdot 1.7 \cdot 10^{-8} \cdot 100 \cdot 10}{4} \approx 14.6$ c

Ответ: температура провода увеличится на 10 °С за промежуток времени, примерно равный 14.6 с.