Номер 36, страница 157, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VIII. Постоянный электрический ток. Параграф 41. Работа и мощность тока - номер 36, страница 157.

Условие.

36. Суммарная мощность тока в двух последовательно соединённых резисторах, подключённых к источнику тока с напряжением 100 В, равна 40 Вт. Если эти же два резистора соединить параллельно и подключить к тому же источнику тока, то суммарная мощность тока в них будет равна 250 Вт. Чему равны сопротивления резисторов?

Решение 2.

Дано:

Напряжение источника тока $U = 100 \text{ В}$

Суммарная мощность при последовательном соединении $P_{посл} = 40 \text{ Вт}$

Суммарная мощность при параллельном соединении $P_{пар} = 250 \text{ Вт}$

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Сопротивления резисторов $R_1$ и $R_2$.

Решение:

Мощность тока в цепи можно рассчитать по формуле $P = \frac{U^2}{R_{общ}}$, где $\text{U}$ — напряжение источника, а $R_{общ}$ — общее сопротивление цепи.

1. Последовательное соединение

При последовательном соединении двух резисторов их общее сопротивление равно сумме их сопротивлений:

$R_{посл} = R_1 + R_2$

Мощность, выделяемая в цепи, в этом случае равна:

$P_{посл} = \frac{U^2}{R_{посл}} = \frac{U^2}{R_1 + R_2}$

Из этой формулы мы можем выразить сумму сопротивлений $R_1$ и $R_2$:

$R_1 + R_2 = \frac{U^2}{P_{посл}}$

Подставим известные значения:

$R_1 + R_2 = \frac{100^2}{40} = \frac{10000}{40} = 250 \text{ Ом}$

2. Параллельное соединение

При параллельном соединении общее сопротивление цепи находится из соотношения:

$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$

Отсюда $R_{пар} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$.

Мощность при параллельном соединении:

$P_{пар} = \frac{U^2}{R_{пар}} = \frac{U^2 (R_1 + R_2)}{R_1 R_2}$

Из этой формулы выразим произведение сопротивлений $R_1 R_2$:

$R_1 R_2 = \frac{U^2 (R_1 + R_2)}{P_{пар}}$

Подставим известные значения, включая найденную ранее сумму $R_1 + R_2 = 250 \text{ Ом}$:

$R_1 R_2 = \frac{100^2 \cdot 250}{250} = 10000 \text{ Ом}^2$

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $R_1$ и $R_2$:

$R_1 + R_2 = 250$

$R_1 R_2 = 10000$

Согласно теореме Виета, $R_1$ и $R_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (R_1 + R_2)x + R_1R_2 = 0$.

Составим уравнение, подставив найденные значения суммы и произведения:

$x^2 - 250x + 10000 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-250)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10000 = 62500 - 40000 = 22500$

$\sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150$

Найдем корни уравнения, которые и будут значениями сопротивлений:

$R_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{250 + 150}{2} = \frac{400}{2} = 200 \text{ Ом}$

$R_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{250 - 150}{2} = \frac{100}{2} = 50 \text{ Ом}$

Ответ: сопротивления резисторов равны 50 Ом и 200 Ом.