Номер 5, страница 167, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VIII. Постоянный электрический ток. Параграф 43. Расчёт более сложных электрических цепей - номер 5, страница 167.

Условие.

5. На рисунке 43.5, а изображена схема электрической цепи. $\mathcal{E}, r$

Сопротивление внешней цепи можно изменять с помощью реостата. Выведите формулу, выражающую зависимость мощности тока во внешней цепи от сопротивления внешней цепи.

На рисунке 43.5, б изображён примерный график зависимости $P(R)$. Мы видим, что выделяемая во внешней цепи мощность $\text{P}$ равна нулю при $R = 0$ и уменьшается после достижения максимума, стремясь к нулю при бесконечно большом внешнем сопротивлении ($R \to\infty$). При каком же сопротивлении внешней цепи выделяемая в ней мощность максимальна?

Найти ответ на этот вопрос можно, используя свойства квадратичной функции¹).

Рис. 43.5

Решение 2.

Дано:

Электрическая цепь, состоящая из источника тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $\text{r}$, и внешнего сопротивления $\text{R}$ (реостата).

Найти:

1. Формулу зависимости мощности тока во внешней цепи $\text{P}$ от сопротивления внешней цепи $\text{R}$.

2. Значение $\text{R}$, при котором мощность $\text{P}$ максимальна.

Решение:

Выведите формулу, выражающую зависимость мощности тока во внешней цепи от сопротивления внешней цепи.

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $\text{I}$ в цепи определяется как отношение ЭДС источника к полному сопротивлению цепи, которое является суммой внешнего сопротивления $\text{R}$ и внутреннего сопротивления $\text{r}$:
$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$
Мощность $\text{P}$, выделяемая на внешнем сопротивлении $\text{R}$, вычисляется по формуле:
$P = I^2 R$
Подставим выражение для силы тока $\text{I}$ в формулу для мощности:
$P(R) = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$
Это и есть искомая зависимость мощности от сопротивления внешней цепи.
Ответ: $P(R) = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

При каком же сопротивлении внешней цепи выделяемая в ней мощность максимальна?

Чтобы найти условие максимальной мощности, преобразуем полученную формулу. Рассмотрим её как уравнение относительно сопротивления $\text{R}$ для заданного значения мощности $\text{P}$:
$P = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$
$P(R+r)^2 = \mathcal{E}^2 R$
$P(R^2 + 2Rr + r^2) = \mathcal{E}^2 R$
$P R^2 + 2PrR + Pr^2 - \mathcal{E}^2 R = 0$
$P R^2 + (2Pr - \mathcal{E}^2)R + Pr^2 = 0$
Мы получили квадратное уравнение вида $aR^2+bR+c=0$ относительно $\text{R}$, где $a=P$, $b=2Pr - \mathcal{E}^2$, $c=Pr^2$.
Чтобы это уравнение имело действительные решения для $\text{R}$ (поскольку сопротивление является действительной величиной), его дискриминант $\text{D}$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = (2Pr - \mathcal{E}^2)^2 - 4 \cdot P \cdot (Pr^2) \ge 0$
$4P^2r^2 - 4P\mathcal{E}^2r + \mathcal{E}^4 - 4P^2r^2 \ge 0$
$\mathcal{E}^4 - 4P\mathcal{E}^2r \ge 0$
$\mathcal{E}^4 \ge 4P\mathcal{E}^2r$
Отсюда можно выразить максимальное значение мощности $\text{P}$:
$P \le \frac{\mathcal{E}^4}{4\mathcal{E}^2r} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r}$
Максимальная мощность $P_{max}$ достигается, когда дискриминант равен нулю ($D=0$). В этом случае квадратное уравнение имеет единственное решение. Это решение и будет соответствовать сопротивлению $\text{R}$, при котором мощность максимальна.
Решение квадратного уравнения при $D=0$ находится по формуле $R = -\frac{b}{2a}$.
Подставим наши коэффициенты $\text{a}$ и $\text{b}$:
$R = -\frac{2Pr - \mathcal{E}^2}{2P}$
Теперь подставим в это выражение значение максимальной мощности $P = P_{max} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r}$:
$R = -\frac{2\left(\frac{\mathcal{E}^2}{4r}\right)r - \mathcal{E}^2}{2\left(\frac{\mathcal{E}^2}{4r}\right)} = -\frac{\frac{\mathcal{E}^2}{2} - \mathcal{E}^2}{\frac{\mathcal{E}^2}{2r}} = -\frac{-\frac{\mathcal{E}^2}{2}}{\frac{\mathcal{E}^2}{2r}} = \frac{\frac{\mathcal{E}^2}{2}}{\frac{\mathcal{E}^2}{2r}} = r$
Таким образом, мощность, выделяемая во внешней цепи, максимальна, когда сопротивление внешней цепи равно внутреннему сопротивлению источника тока.
Ответ: Мощность во внешней цепи максимальна при сопротивлении $\text{R}$, равном внутреннему сопротивлению источника $\text{r}$, то есть при $R=r$.