Номер 8, страница 168, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VIII. Постоянный электрический ток. Параграф 43. Расчёт более сложных электрических цепей - номер 8, страница 168.

Условие.

8. Чему равен КПД источника тока, когда выделяемая во внешней цепи мощность максимальна?

Решение 2.

Дано:

Источник тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $\text{r}$.
Внешняя цепь с сопротивлением $\text{R}$.
Мощность, выделяемая во внешней цепи ($P_{полезн}$), является максимальной.

Найти:

КПД источника тока $\eta$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) источника тока определяется как отношение полезной мощности, выделяемой во внешней цепи, к полной мощности, развиваемой источником.

Полезная мощность $P_{полезн}$ — это мощность, которая выделяется на внешнем сопротивлении $\text{R}$. Согласно закону Джоуля-Ленца, она равна:
$P_{полезн} = I^2 R$

Полная мощность $P_{полн}$ — это работа, совершаемая сторонними силами источника в единицу времени. Она расходуется на нагрев как внешнего сопротивления $\text{R}$, так и внутреннего сопротивления $\text{r}$:
$P_{полн} = I^2 (R+r)$

Тогда формула для КПД ($\eta$) имеет вид:
$\eta = \frac{P_{полезн}}{P_{полн}} = \frac{I^2 R}{I^2 (R+r)} = \frac{R}{R+r}$

Для нахождения условия максимальной мощности во внешней цепи, выразим полезную мощность через параметры цепи. Сила тока $\text{I}$ в цепи по закону Ома для полной цепи равна:
$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Подставим это выражение в формулу для полезной мощности:
$P_{полезн}(R) = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

Чтобы найти, при каком значении $\text{R}$ мощность $P_{полезн}$ максимальна, нужно исследовать эту функцию на экстремум. Для этого найдем производную мощности по внешнему сопротивлению $\text{R}$ и приравняем ее к нулю:
$\frac{dP_{полезн}}{dR} = \frac{d}{dR} \left( \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2} \right) = \mathcal{E}^2 \frac{1 \cdot (R+r)^2 - R \cdot 2(R+r)}{((R+r)^2)^2} = \mathcal{E}^2 \frac{(R+r) - 2R}{(R+r)^3} = \mathcal{E}^2 \frac{r-R}{(R+r)^3}$

Приравниваем производную к нулю для нахождения точки экстремума:
$\mathcal{E}^2 \frac{r-R}{(R+r)^3} = 0$

Это равенство выполняется, когда числитель равен нулю:
$r-R=0$, откуда следует, что $R=r$.

Таким образом, мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает своего максимального значения, когда сопротивление внешней цепи равно внутреннему сопротивлению источника тока.

Теперь мы можем рассчитать КПД для этого случая. Подставим условие $R=r$ в формулу для КПД:
$\eta = \frac{R}{R+r} = \frac{r}{r+r} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$

Выражая в процентах, получаем $\eta = 0.5 \cdot 100\% = 50\%$.

Ответ: КПД источника тока, когда выделяемая во внешней цепи мощность максимальна, равен 0,5 или 50%.