Номер 2, страница 166, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VIII. Постоянный электрический ток. Параграф 43. Расчёт более сложных электрических цепей - номер 2, страница 166.

Условие.

2. На рисунке 43.2 изображена схема участка электрической цепи. Сопротивление каждого резистора 1 Ом.

а) Используя метод эквивалентных схем, начертите схемы последовательного упрощения данной схемы, содержащие меньше резисторов.

б) Найдите общее сопротивление $\text{R}$ участка цепи.

Рис. 43.2

Решение 2.

а) Используя метод эквивалентных схем, начертите схемы последовательного упрощения данной схемы, содержащие меньше резисторов.

Для решения задачи воспользуемся методом эквивалентных схем, последовательно упрощая исходную цепь. Сопротивление каждого резистора $r = 1 \text{ Ом}$. Упрощение исходной схемы происходит в несколько этапов, каждый из которых представляет собой эквивалентную схему с меньшим числом элементов.

Этап 1: Анализ симметрии и удаление избыточных элементов.

Исходная схема (Рис. 43.2) полностью симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через ее центр. Поскольку сопротивления всех соответствующих резисторов равны ($R_3=R_4$, $R_6=R_7$), то при протекании тока от верхнего ввода к нижнему потенциалы в узлах по обе стороны от оси симметрии будут одинаковы. В частности:

1. Потенциал узла, соединяющего $R_3, R_5, R_6$, равен потенциалу узла, соединяющего $R_4, R_5, R_7$. Следовательно, разность потенциалов на резисторе $R_5$ равна нулю, и ток через него не течет.

2. Потенциал узла, соединяющего $R_6$ и $R_8$, равен потенциалу узла, соединяющего $R_7$ и $R_8$. Следовательно, разность потенциалов на резисторе $R_8$ также равна нулю, и ток через него не течет.

Поэтому резисторы $R_5$ и $R_8$ можно удалить из схемы, так как они не влияют на общее сопротивление. Первая эквивалентная схема будет выглядеть как исходная, но без резисторов $R_5$ и $R_8$.

Этап 2: Объединение последовательных резисторов.

После удаления $R_5$ и $R_8$ в схеме образуются две ветви с последовательно соединенными резисторами:

- Левая ветвь: $R_3$ и $R_6$ соединены последовательно.

- Правая ветвь: $R_4$ и $R_7$ соединены последовательно.

Заменяем эти пары резисторов их эквивалентными сопротивлениями $R_{36} = R_3 + R_6$ и $R_{47} = R_4 + R_7$. Вторая эквивалентная схема будет состоять из параллельных резисторов $R_1, R_2$, соединенных последовательно с блоком из двух параллельных ветвей, содержащих резисторы $R_{36}$ и $R_{47}$.

Этап 3: Объединение параллельных участков.

На этом шаге мы объединяем все параллельные участки:

- Верхний участок: параллельно соединенные $R_1$ и $R_2$ заменяются эквивалентным резистором $R_{12}$.

- Нижний участок: параллельно соединенные ветви $R_{36}$ и $R_{47}$ заменяются эквивалентным резистором $R_{3467}$.

Третья эквивалентная схема представляет собой два последовательно соединенных резистора: $R_{12}$ и $R_{3467}$.

Этап 4: Финальная эквивалентная схема.

Складываем сопротивления последовательно соединенных резисторов $R_{12}$ и $R_{3467}$. Вся цепь заменяется одним эквивалентным резистором с общим сопротивлением $R = R_{12} + R_{3467}$.

Ответ: Схемы последовательного упрощения основаны на удалении резисторов $R_5$ и $R_8$ из-за симметрии цепи, последующем объединении последовательно соединенных резисторов ($R_3$ с $R_6$ и $R_4$ с $R_7$), далее объединении всех параллельных участков и, наконец, сложении оставшихся последовательных сопротивлений.

б) Найдите общее сопротивление R участка цепи.

Дано:

$r_1 = r_2 = r_3 = r_4 = r_5 = r_6 = r_7 = r_8 = r = 1 \text{ Ом}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{R}$

Решение:

Выполним расчеты в соответствии с этапами упрощения, описанными в пункте а).

1. Найдем эквивалентное сопротивление $R_{12}$ параллельно соединенных резисторов $R_1$ и $R_2$:

$R_{12} = \frac{r_1 \cdot r_2}{r_1 + r_2} = \frac{r \cdot r}{r + r} = \frac{r^2}{2r} = \frac{r}{2}$

Подставляя $r = 1 \text{ Ом}$, получаем:

$R_{12} = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ Ом}$

2. Резисторы $R_5$ и $R_8$ исключаем из схемы по причине симметрии.

3. Рассчитаем сопротивления левой ($R_{36}$) и правой ($R_{47}$) ветвей. Резисторы в них соединены последовательно:

$R_{36} = r_3 + r_6 = r + r = 2r = 2 \cdot 1 = 2 \text{ Ом}$

$R_{47} = r_4 + r_7 = r + r = 2r = 2 \cdot 1 = 2 \text{ Ом}$

4. Теперь найдем эквивалентное сопротивление $R_{3467}$ параллельно соединенных ветвей $R_{36}$ и $R_{47}$:

$R_{3467} = \frac{R_{36} \cdot R_{47}}{R_{36} + R_{47}} = \frac{2r \cdot 2r}{2r + 2r} = \frac{4r^2}{4r} = r = 1 \text{ Ом}$

5. Общее сопротивление цепи $\text{R}$ равно сумме сопротивлений последовательно соединенных участков $R_{12}$ и $R_{3467}$:

$R = R_{12} + R_{3467} = \frac{r}{2} + r = \frac{3}{2}r$

Подставим числовые значения:

$R = 0.5 \text{ Ом} + 1 \text{ Ом} = 1.5 \text{ Ом}$

Ответ: $R = 1.5 \text{ Ом}$.