Номер 7, страница 167, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VIII. Постоянный электрический ток. Параграф 43. Расчёт более сложных электрических цепей - номер 7, страница 167.

Условие.

7. Начертите график зависимости $P(I)$.

а) Используя свойства квадратичной функции, найдите выражение для силы тока, при которой функция $P(I)$ достигает максимума.

б) При каком соотношении между $\text{R}$ и $\text{r}$ мощность тока во внешней цепи максимальна?

Решение 2.

Дано:

Источник тока с ЭДС (электродвижущей силой) $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $\text{r}$.

Внешнее сопротивление $\text{R}$.

Мощность $\text{P}$, выделяемая во внешней цепи.

Сила тока в цепи $\text{I}$.

Найти:

1. График зависимости $P(I)$.

2. Выражение для силы тока $I_{max}$, при которой мощность $\text{P}$ во внешней цепи максимальна.

3. Соотношение между $\text{R}$ и $\text{r}$ для достижения максимальной мощности $\text{P}$.

Решение:

Мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении $\text{R}$, также называемая полезной мощностью, связана с напряжением $\text{U}$ на нем и силой тока $\text{I}$ соотношением $P = UI$.

Согласно закону Ома для полной цепи, напряжение на клеммах источника (и на внешнем сопротивлении) равно $U = \mathcal{E} - Ir$.

Подставим это выражение для $\text{U}$ в формулу мощности, чтобы получить зависимость $\text{P}$ от $\text{I}$:

$P(I) = (\mathcal{E} - Ir)I = \mathcal{E}I - rI^2$

Это уравнение описывает зависимость мощности во внешней цепи от силы тока.

График зависимости P(I)

Функция $P(I) = -rI^2 + \mathcal{E}I$ является квадратичной. Ее график – парабола. Так как коэффициент при $I^2$ равен $-r$ и является отрицательным (поскольку сопротивление $r>0$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения графика с осью абсцисс (осью тока $\text{I}$), приравняв мощность к нулю:

$P(I) = I(\mathcal{E} - rI) = 0$

Корни этого уравнения: $I_1 = 0$ и $I_2 = \frac{\mathcal{E}}{r}$.

Физически $I=0$ соответствует режиму разомкнутой цепи ($R \to \infty$), а $I = \frac{\mathcal{E}}{r}$ – режиму короткого замыкания ($R=0$). В обоих случаях полезная мощность равна нулю.

Таким образом, график представляет собой дугу параболы, которая начинается в точке (0, 0), достигает своего максимального значения, а затем снижается до нуля при токе короткого замыкания $I_{кз} = \mathcal{E}/r$.

a)

Чтобы найти выражение для силы тока, при которой функция $P(I)$ достигает максимума, воспользуемся свойствами квадратичной функции. Максимальное значение функции $P(I) = -rI^2 + \mathcal{E}I$ достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае переменной является сила тока $\text{I}$, а коэффициенты: $a = -r$ и $b = \mathcal{E}$.

Следовательно, ток, соответствующий максимальной мощности, равен:

$I_{max} = -\frac{\mathcal{E}}{2(-r)} = \frac{\mathcal{E}}{2r}$

Ответ: Выражение для силы тока, при которой функция $P(I)$ достигает максимума: $I_{max} = \frac{\mathcal{E}}{2r}$.

б)

Для нахождения соотношения между внешним сопротивлением $\text{R}$ и внутренним сопротивлением $\text{r}$ при максимальной мощности, воспользуемся законом Ома для полной цепи:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Мощность во внешней цепи максимальна, когда сила тока в ней равна $I_{max} = \frac{\mathcal{E}}{2r}$. Приравняем эти два выражения для силы тока:

$\frac{\mathcal{E}}{R+r} = \frac{\mathcal{E}}{2r}$

Поскольку ЭДС источника $\mathcal{E}$ не равна нулю, мы можем приравнять знаменатели дробей:

$R+r = 2r$

Из этого уравнения находим искомое соотношение:

$R = r$

Ответ: Мощность тока во внешней цепи максимальна при условии, что внешнее сопротивление цепи равно внутреннему сопротивлению источника тока, то есть при $R = r$.