Номер 29, страница 164, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VIII. Постоянный электрический ток. Параграф 42. Закон Ома для полной цепи - номер 29, страница 164.

Условие.

29. Когда к источнику тока поочерёдно подключают по одному резисторы сопротивлениями 2 Ом и 8 Ом, мощность тока в резисторе оказывается одной и той же. Чему равно внутреннее сопротивление источника?

Решение 2.

Дано:

$R_1 = 2 \text{ Ом}$

$R_2 = 8 \text{ Ом}$

$P_1 = P_2$

Найти:

$\text{r}$ - ?

Решение:

Мощность тока $\text{P}$, выделяемая во внешней цепи (на резисторе), определяется по формуле:

$P = I^2 R$

где $\text{I}$ – сила тока в цепи, а $\text{R}$ – сопротивление внешней цепи.

Сила тока в полной цепи, согласно закону Ома для полной цепи, равна:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

где $\mathcal{E}$ – ЭДС источника тока, $\text{r}$ – внутреннее сопротивление источника.

Подставим выражение для силы тока в формулу мощности:

$P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

Запишем это уравнение для двух случаев, описанных в задаче:

1. Для первого резистора с сопротивлением $R_1$: $P_1 = \frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2}$

2. Для второго резистора с сопротивлением $R_2$: $P_2 = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

По условию задачи, мощности в обоих случаях равны, то есть $P_1 = P_2$. Приравняем правые части уравнений:

$\frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

Сократим на $\mathcal{E}^2$ (ЭДС источника не равна нулю):

$\frac{R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{R_2}{(R_2+r)^2}$

Преобразуем это выражение:

$R_1(R_2+r)^2 = R_2(R_1+r)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{R_1}(R_2+r) = \sqrt{R_2}(R_1+r)$

Раскроем скобки:

$\sqrt{R_1}R_2 + \sqrt{R_1}r = \sqrt{R_2}R_1 + \sqrt{R_2}r$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $\text{r}$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$\sqrt{R_1}r - \sqrt{R_2}r = \sqrt{R_2}R_1 - \sqrt{R_1}R_2$

$r(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2}) = \sqrt{R_1R_2}(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2})$

Поскольку $R_1 \ne R_2$, то $(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2}) \ne 0$, и мы можем разделить обе части на этот множитель:

$r = \sqrt{R_1 R_2}$

Подставим числовые значения:

$r = \sqrt{2 \text{ Ом} \cdot 8 \text{ Ом}} = \sqrt{16 \text{ Ом}^2} = 4 \text{ Ом}$

Ответ: внутреннее сопротивление источника равно 4 Ом.