Номер 7, страница 55 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Механика. Глава 1. Кинематика. Параграф 8. Решение задач о равноускоренном движении. Аналитический и графический способы решения - номер 7, страница 55.

Условие.

7. Мимо стоящего на обочине автомобиля ДПС проезжает грузовик, модуль скорости которого равен $72 \text{ км/ч}$. Сразу после этого автомобиль ДПС начинает преследование грузовика с ускорением, модуль которого равен $5 \text{ м/с}^2$. Определите пути, которые пройдут машины к тому моменту, когда расстояние между ними станет максимальным.

Решение.

Дано:

$v_{г} = 72 \text{ км/ч}$

$a_{д} = 5 \text{ м/с}^2$

$v_{0д} = 0 \text{ м/с}$ (так как автомобиль ДПС стоял)

Переведем скорость грузовика в систему СИ:

$v_{г} = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

Найти:

$S_г$ — путь, пройденный грузовиком.

$S_д$ — путь, пройденный автомобилем ДПС.

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Начало координат ($x=0$) поместим в точку, где находился автомобиль ДПС в начальный момент времени ($t=0$). Момент $t=0$ — это момент, когда грузовик проезжает мимо стоящего автомобиля ДПС, и тот начинает преследование.

Грузовик движется с постоянной скоростью, поэтому его движение описывается уравнением:

$S_г(t) = v_г \cdot t$

Автомобиль ДПС начинает движение из состояния покоя с постоянным ускорением. Его движение является равноускоренным, и пройденный им путь описывается уравнением:

$S_д(t) = v_{0д} \cdot t + \frac{a_д t^2}{2} = \frac{a_д t^2}{2}$

Расстояние $L$ между грузовиком и автомобилем ДПС в любой момент времени $t$ равно разности пройденных ими путей:

$L(t) = S_г(t) - S_д(t) = v_г t - \frac{a_д t^2}{2}$

Расстояние между ними будет увеличиваться до тех пор, пока скорость грузовика больше скорости автомобиля ДПС. Как только скорость автомобиля ДПС превысит скорость грузовика, он начнет догонять грузовик, и расстояние между ними начнет сокращаться. Следовательно, расстояние между ними будет максимальным в тот момент, когда их скорости станут равны.

Скорость грузовика постоянна: $v_г = 20 \text{ м/с}$.

Скорость автомобиля ДПС изменяется со временем по закону: $v_д(t) = v_{0д} + a_д t = a_д t$.

Найдем момент времени $t$, когда их скорости сравняются:

$v_д(t) = v_г$

$a_д t = v_г$

$t = \frac{v_г}{a_д} = \frac{20 \text{ м/с}}{5 \text{ м/с}^2} = 4 \text{ с}$

Теперь, зная этот момент времени, можно рассчитать пути, пройденные каждой машиной.

Путь, пройденный грузовиком за 4 секунды:

$S_г = v_г \cdot t = 20 \text{ м/с} \cdot 4 \text{ с} = 80 \text{ м}$

Путь, пройденный автомобилем ДПС за 4 секунды:

$S_д = \frac{a_д t^2}{2} = \frac{5 \text{ м/с}^2 \cdot (4 \text{ с})^2}{2} = \frac{5 \cdot 16}{2} \text{ м} = 40 \text{ м}$

Ответ: к моменту, когда расстояние между машинами станет максимальным, грузовик пройдет путь 80 м, а автомобиль ДПС — 40 м.