Номер 5, страница 55 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Механика. Глава 1. Кинематика. Параграф 8. Решение задач о равноускоренном движении. Аналитический и графический способы решения - номер 5, страница 55.

Условие.

5. Из орудия, находящегося у подножия горы, ведут обстрел снежных шапок на её склоне. Угол между склоном горы и горизонтом равен $30^\circ$. Модуль скорости вылетающего из ствола орудия снаряда равен $300 \text{ м/с}$, вектор скорости снаряда направлен под углом $45^\circ$ к склону горы. При этом снаряд попадает в цель. Определите по этим данным расстояние до цели.

Решение.

Дано:

Угол наклона горы к горизонту: $\alpha = 30^\circ$

Модуль начальной скорости снаряда: $v_0 = 300$ м/с

Угол, под которым вектор скорости снаряда направлен к склону горы: $\beta = 45^\circ$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

Расстояние до цели по склону горы: $L$

Решение:

Для решения задачи введем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вдоль склона горы, а ось $Oy$ — перпендикулярно ему. Начало координат находится в точке выстрела (у подножия горы).

В этой системе координат проекции начальной скорости на оси будут:

$v_{0x} = v_0 \cos\beta$

$v_{0y} = v_0 \sin\beta$

Ускорение свободного падения $\vec{g}$ направлено вертикально вниз. Его проекции на выбранные оси координат будут:

$g_x = -g \sin\alpha$ (направлена вниз вдоль склона)

$g_y = -g \cos\alpha$ (направлена перпендикулярно склону, "вдавливая" в него)

Запишем уравнения движения снаряда вдоль осей $Ox$ и $Oy$:

$x(t) = v_{0x} t + \frac{g_x t^2}{2} = v_0 \cos\beta \cdot t - \frac{g \sin\alpha \cdot t^2}{2}$

$y(t) = v_{0y} t + \frac{g_y t^2}{2} = v_0 \sin\beta \cdot t - \frac{g \cos\alpha \cdot t^2}{2}$

Снаряд попадет в цель на склоне горы, когда его координата $y$ снова станет равной нулю. Найдем время полета $T$ из условия $y(T) = 0$:

$v_0 \sin\beta \cdot T - \frac{g \cos\alpha \cdot T^2}{2} = 0$

$T \left( v_0 \sin\beta - \frac{g \cos\alpha \cdot T}{2} \right) = 0$

Решение $T=0$ соответствует моменту выстрела. Время полета до цели:

$T = \frac{2 v_0 \sin\beta}{g \cos\alpha}$

Расстояние до цели $L$ — это координата $x$ в момент времени $T$. Подставим найденное время полета в уравнение для $x(t)$:

$L = x(T) = v_0 \cos\beta \cdot T - \frac{g \sin\alpha \cdot T^2}{2}$

$L = v_0 \cos\beta \left( \frac{2 v_0 \sin\beta}{g \cos\alpha} \right) - \frac{g \sin\alpha}{2} \left( \frac{2 v_0 \sin\beta}{g \cos\alpha} \right)^2$

Упростим выражение:

$L = \frac{2 v_0^2 \sin\beta \cos\beta}{g \cos\alpha} - \frac{g \sin\alpha}{2} \cdot \frac{4 v_0^2 \sin^2\beta}{g^2 \cos^2\alpha}$

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\beta)}{g \cos\alpha} - \frac{2 v_0^2 \sin\alpha \sin^2\beta}{g \cos^2\alpha}$

Приведем к общему знаменателю $g \cos^2\alpha$:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\beta) \cos\alpha - 2 v_0^2 \sin\alpha \sin^2\beta}{g \cos^2\alpha}$

Вынесем $v_0^2$ за скобки и воспользуемся формулой двойного угла $\sin(2\beta) = 2\sin\beta\cos\beta$:

$L = \frac{v_0^2}{g \cos^2\alpha} (2 \sin\beta \cos\beta \cos\alpha - 2 \sin\alpha \sin^2\beta)$

$L = \frac{2 v_0^2 \sin\beta}{g \cos^2\alpha} (\cos\beta \cos\alpha - \sin\beta \sin\alpha)$

Выражение в скобках является формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

Тогда итоговая формула для дальности полета по склону:

$L = \frac{2 v_0^2 \sin\beta \cos(\alpha+\beta)}{g \cos^2\alpha}$

Подставим числовые значения:

$\alpha = 30^\circ$, $\beta = 45^\circ$, $\alpha+\beta = 75^\circ$

$v_0 = 300$ м/с

$g = 9.8$ м/с$^2$

$\sin\beta = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\alpha) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos^2(\alpha) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$

$\cos(\alpha+\beta) = \cos(75^\circ) = \cos(45^\circ+30^\circ) = \cos45^\circ\cos30^\circ - \sin45^\circ\sin30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$L = \frac{2 \cdot (300)^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{9.8 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{90000 \cdot \sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{9.8 \cdot 3} = \frac{90000 \cdot (\sqrt{12}-2)}{29.4} = \frac{90000 \cdot (2\sqrt{3}-2)}{29.4}$

$L = \frac{180000 (\sqrt{3}-1)}{29.4} \approx \frac{180000 \cdot (1.732 - 1)}{29.4} = \frac{180000 \cdot 0.732}{29.4} \approx \frac{131760}{29.4} \approx 4481.6$ м.

Округлим до целого числа.

Ответ: $L \approx 4482$ м.