Номер 3, страница 132 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Механика. Глава 3. Динамика. Параграф 21. Решение задач о движении тела под действием нескольких сил - номер 3, страница 132.

Условие.

3. По плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha = 60^{\circ}$, соскальзывает вниз брусок, двигаясь поступательно. Найдите ускорение бруска, если известно, что коэффициент его трения о плоскость $\mu = 0,1$.

Решение.

Дано:

Угол наклона плоскости $ \alpha = 60^\circ $
Коэффициент трения $ \mu = 0.1 $
Ускорение свободного падения $ g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 $

Найти:

Ускорение бруска $ a $

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на брусок, соскальзывающий по наклонной плоскости. Выберем систему координат, в которой ось $ Ox $ направлена вдоль наклонной плоскости вниз (по направлению движения), а ось $ Oy $ — перпендикулярно плоскости вверх.

На брусок действуют три силы:
1. Сила тяжести $ \vec{F}_g = m\vec{g} $, направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры $ \vec{N} $, направленная перпендикулярно плоскости.
3. Сила трения скольжения $ \vec{F}_{тр} $, направленная против движения, то есть вверх вдоль наклонной плоскости.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
$ m\vec{a} = \vec{F}_g + \vec{N} + \vec{F}_{тр} $

Спроецируем это уравнение на оси координат. Силу тяжести $ \vec{F}_g $ разложим на две составляющие:
Проекция на ось $ Ox $: $ F_{gx} = mg \sin(\alpha) $
Проекция на ось $ Oy $: $ F_{gy} = -mg \cos(\alpha) $ (знак минус, так как направлена против оси $ Oy $)

Проекции второго закона Ньютона на оси:
На ось $ Ox $: $ ma = mg \sin(\alpha) - F_{тр} $
На ось $ Oy $: $ 0 = N - mg \cos(\alpha) $ (так как ускорение в направлении оси $ Oy $ равно нулю)

Из уравнения для оси $ Oy $ выразим силу нормальной реакции опоры:
$ N = mg \cos(\alpha) $

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры через коэффициент трения $ \mu $:
$ F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos(\alpha) $

Подставим выражение для силы трения в уравнение для оси $ Ox $:
$ ma = mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha) $

Сократим массу $ m $ в обеих частях уравнения:
$ a = g \sin(\alpha) - \mu g \cos(\alpha) $
$ a = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha)) $

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу. Примем $ g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 $.
$ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 $
$ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = 0.5 $

$ a = 9.8 \cdot (\sin(60^\circ) - 0.1 \cdot \cos(60^\circ)) $
$ a = 9.8 \cdot (0.866 - 0.1 \cdot 0.5) $
$ a = 9.8 \cdot (0.866 - 0.05) $
$ a = 9.8 \cdot 0.816 $
$ a \approx 7.9968 \, \text{м/с}^2 $

Округлив результат, получаем:
$ a \approx 8.0 \, \text{м/с}^2 $

Ответ: ускорение бруска составляет примерно $ 8.0 \, \text{м/с}^2 $.