Номер 8, страница 167 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

13. Оптика. 13.1. Прямолинейное распространение света - номер 8, страница 167.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Высота комнаты (и лампы) от пола: $H = 3$ м

Длина люминесцентной лампы: $L_{л} = 2$ м

Высота расположения диска от пола: $h_{д} = 1,5$ м

Диаметр непрозрачного диска: $D_{д} = 2$ м

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Максимальное расстояние между крайними точками полутени на полу: $d_{max}$.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть пол совпадает с плоскостью $xy$ ($z=0$), а ось $z$ проходит вертикально через центры диска и лампы. Так как центр лампы и центр диска лежат на одной вертикали, мы можем расположить их центры в точке $(0, 0)$ в плоскости $xy$.

Лампа представляет собой линейный источник света. Расположим ее вдоль оси $x$. Тогда координаты точек лампы будут $(x_L, 0, 3)$, где $x_L \in [-1, 1]$, так как ее длина 2 м, а центр находится в начале координат.

Непрозрачный диск расположен в плоскости $z=1,5$. Его диаметр равен 2 м, значит, радиус $R_д = 1$ м. Граница диска описывается уравнением $x^2 + y^2 = 1^2$ в плоскости $z=1,5$.

Область полутени — это та область на полу, из которой видна только часть источника света. Крайние точки полутени соответствуют внешней границе всей области тени (полной тени и полутени). Точка на полу находится на этой границе, если луч зрения из этой точки к самому краю источника света касается края диска.

Найдем общую область тени и полутени на полу. Точка $P(x, y, 0)$ на полу находится в этой области, если хотя бы один луч от лампы к этой точке перекрывается диском.

Рассмотрим луч, идущий от точки на лампе $L(x_L, 0, 3)$ к точке на полу $P(x, y, 0)$. Этот луч пересекает плоскость диска $z=1,5$. Из подобия треугольников (или линейной интерполяции) следует, что точка пересечения луча с плоскостью диска $Q(x_q, y_q, 1,5)$ является серединой отрезка $LP$. Ее координаты:

$x_q = \frac{x_L + x}{2}$

$y_q = \frac{0 + y}{2} = \frac{y}{2}$

Луч будет заблокирован, если точка $Q$ попадет на диск, то есть ее координаты удовлетворяют условию $x_q^2 + y_q^2 \le R_д^2$.

$(\frac{x_L + x}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2 \le 1^2$

Умножив обе части на 4, получим:

$(x_L + x)^2 + y^2 \le 4$

Точка $P(x, y)$ на полу находится в области тени или полутени, если это неравенство выполняется хотя бы для одного значения $x_L$ из отрезка $[-1, 1]$. Это равносильно тому, что минимальное значение левой части неравенства по $x_L \in [-1, 1]$ должно быть меньше или равно 4.

$\min_{x_L \in [-1, 1]} ((x_L + x)^2 + y^2) \le 4$

Рассмотрим функцию $f(x_L) = (x_L + x)^2$. Это парабола относительно $x_L$, ее минимум достигается при $x_L = -x$.

1. Если $-1 \le x \le 1$, то точка минимума $x_L = -x$ находится внутри отрезка $[-1, 1]$. Минимальное значение $f(x_L)$ равно $( -x + x)^2 = 0$. Тогда неравенство принимает вид $0 + y^2 \le 4$, то есть $|y| \le 2$. Это задает прямоугольную область: $-1 \le x \le 1, -2 \le y \le 2$.

2. Если $x > 1$, то точка минимума $x_L = -x$ находится левее отрезка $[-1, 1]$. На отрезке $[-1, 1]$ функция $f(x_L)$ возрастает, и ее минимум достигается на левом конце, при $x_L = -1$. Минимальное значение равно $(-1 + x)^2$. Неравенство принимает вид $(x-1)^2 + y^2 \le 4$. Это круг с центром в $(1, 0)$ и радиусом 2. С учетом условия $x > 1$, мы получаем правую половину этого круга (полукруг).

3. Если $x < -1$, то точка минимума $x_L = -x$ находится правее отрезка $[-1, 1]$. На отрезке $[-1, 1]$ функция $f(x_L)$ убывает, и ее минимум достигается на правом конце, при $x_L = 1$. Минимальное значение равно $(1 + x)^2$. Неравенство принимает вид $(x+1)^2 + y^2 \le 4$. Это круг с центром в $(-1, 0)$ и радиусом 2. С учетом условия $x < -1$, мы получаем левую половину этого круга (полукруг).

Таким образом, общая область тени и полутени на полу представляет собой фигуру, состоящую из прямоугольника (из п.1) и двух полукругов (из п.2 и п.3), примыкающих к его боковым сторонам. Такая фигура называется "стадион" или дископрямоугольник.

Крайние точки этой фигуры определяют максимальное расстояние.

- Самая правая точка принадлежит правому полукругу с центром в $(1, 0)$ и радиусом 2. Ее координата $x = 1 + 2 = 3$. Точка имеет координаты $(3, 0)$.

- Самая левая точка принадлежит левому полукругу с центром в $(-1, 0)$ и радиусом 2. Ее координата $x = -1 - 2 = -3$. Точка имеет координаты $(-3, 0)$.

Максимальное расстояние между крайними точками полутени будет равно расстоянию между этими двумя самыми удаленными точками.

$d_{max} = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{6^2} = 6$ м.

Ответ: 6 м.