Номер 1, страница 86 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Параграф 1.17. Скорость при движении с постоянным ускорением. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 1, страница 86.

Условие.

? Докажите, что движение тела с постоянным ускорением совершается в одной плоскости. Какие математические знания вам понадобились при доказательстве?

Решение.

Докажите, что движение тела с постоянным ускорением совершается в одной плоскости.

Решение

Положение тела в пространстве в любой момент времени $t$ задается радиус-вектором $\vec{r}(t)$. Скорость $\vec{v}(t)$ и ускорение $\vec{a}(t)$ определяются как производные по времени:

$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}$, $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt}$

Согласно условию, ускорение постоянно: $\vec{a}(t) = \vec{a} = \text{const}$.

Для нахождения скорости проинтегрируем ускорение по времени. Если в начальный момент времени $t=0$ скорость тела была $\vec{v}_0$, то:

$\vec{v}(t) - \vec{v}_0 = \int_{0}^{t} \vec{a} dt' = \vec{a}t$

Отсюда закон изменения скорости имеет вид:

$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$

Для нахождения радиус-вектора проинтегрируем скорость по времени. Если в начальный момент времени $t=0$ тело находилось в точке с радиус-вектором $\vec{r}_0$, то:

$\vec{r}(t) - \vec{r}_0 = \int_{0}^{t} \vec{v}(t') dt' = \int_{0}^{t} (\vec{v}_0 + \vec{a}t') dt' = \vec{v}_0 t + \frac{\vec{a}t^2}{2}$

Таким образом, закон движения тела:

$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{\vec{a}t^2}{2}$

Рассмотрим вектор перемещения тела относительно его начального положения: $\Delta\vec{r}(t) = \vec{r}(t) - \vec{r}_0$. Из полученного уравнения следует:

$\Delta\vec{r}(t) = t \cdot \vec{v}_0 + \frac{t^2}{2} \cdot \vec{a}$

Это выражение показывает, что вектор перемещения $\Delta\vec{r}(t)$ в любой момент времени является линейной комбинацией двух постоянных векторов: вектора начальной скорости $\vec{v}_0$ и вектора ускорения $\vec{a}$.

Из векторной алгебры известно, что любая линейная комбинация двух векторов всегда лежит в плоскости, определяемой этими векторами (если они не коллинеарны). Если же векторы $\vec{v}_0$ и $\vec{a}$ коллинеарны (параллельны), то движение происходит вдоль одной прямой, что является частным случаем плоского движения, так как любую прямую можно расположить в плоскости.

Следовательно, вся траектория движения тела лежит в одной плоскости, которая проходит через начальную точку (определяемую вектором $\vec{r}_0$) и параллельна векторам $\vec{v}_0$ и $\vec{a}$.

Ответ: Движение тела с постоянным ускорением всегда совершается в одной плоскости, поскольку вектор перемещения тела в любой момент времени является линейной комбинацией постоянных векторов начальной скорости и ускорения. Эти два вектора (вместе с начальной точкой) и определяют плоскость движения.

Какие математические знания вам понадобились при доказательстве?

При доказательстве были использованы знания из двух основных областей математики.

Во-первых, это векторная алгебра. Потребовалось понимание векторов (радиус-вектор, скорость, ускорение), умение выполнять операции над ними (сложение, умножение на скаляр). Ключевым моментом стало использование понятия линейной комбинации векторов и его геометрического смысла: любой вектор, являющийся линейной комбинацией двух других, лежит в одной плоскости с ними.

Во-вторых, это математический анализ. В частности, дифференциальное и интегральное исчисление для вектор-функций. Были использованы производные для определения скорости и ускорения, а также интегрирование для нахождения закона движения по известному постоянному ускорению. Также потребовалось умение находить константы интегрирования с помощью начальных условий.

Ответ: Для доказательства понадобились знания из векторной алгебры (операции с векторами, линейная комбинация векторов) и математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисление).