Номер 4, страница 102 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 3. Параграф 1.22. Примеры решения задач. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 4, страница 102.

Условие.

4. Расстояние 20 км между двумя станциями поезд проходит со скоростью, средний модуль которой равен 72 км/ч, причём на разгон он тратит 2 мин, а затем идёт с постоянной скоростью. На торможение до полной остановки поезд тратит 3 мин. Определите модуль максимальной скорости поезда.

Решение.

Дано:

$S = 20$ км
$v_{ср} = 72$ км/ч
$t_1 = 2$ мин (время разгона)
$t_3 = 3$ мин (время торможения)

Перевод в систему СИ:

$S = 20 \cdot 1000 = 20000$ м
$v_{ср} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20$ м/с
$t_1 = 2 \cdot 60 = 120$ с
$t_3 = 3 \cdot 60 = 180$ с

Найти:

$v_{max}$ — модуль максимальной скорости поезда.

Решение:

Движение поезда можно разделить на три этапа: равноускоренный разгон, равномерное движение и равнозамедленное торможение.

1. Сначала найдём общее время движения поезда ($T$) из формулы средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S}{T} \Rightarrow T = \frac{S}{v_{ср}}$

$T = \frac{20000 \text{ м}}{20 \text{ м/с}} = 1000$ с.

2. Общее время движения складывается из времени разгона ($t_1$), времени движения с постоянной скоростью ($t_2$) и времени торможения ($t_3$):

$T = t_1 + t_2 + t_3$.

Отсюда можем найти время движения с постоянной (максимальной) скоростью:

$t_2 = T - t_1 - t_3 = 1000 \text{ с} - 120 \text{ с} - 180 \text{ с} = 700$ с.

3. Общий пройденный путь ($S$) является суммой путей, пройденных на каждом из трёх этапов: $S = S_1 + S_2 + S_3$. Максимальная скорость $v_{max}$ достигается в конце разгона и поддерживается на втором этапе.

Путь на этапе разгона (движение с начальной скоростью 0 до $v_{max}$):

$S_1 = \frac{v_0 + v_{max}}{2} t_1 = \frac{v_{max} \cdot t_1}{2}$.

Путь на этапе движения с постоянной скоростью $v_{max}$:

$S_2 = v_{max} \cdot t_2$.

Путь на этапе торможения (движение от $v_{max}$ до полной остановки):

$S_3 = \frac{v_{max} + v_{кон}}{2} t_3 = \frac{v_{max} \cdot t_3}{2}$.

4. Подставим выражения для путей в общую формулу:

$S = \frac{v_{max} \cdot t_1}{2} + v_{max} \cdot t_2 + \frac{v_{max} \cdot t_3}{2}$.

Вынесем $v_{max}$ за скобки:

$S = v_{max} \left( \frac{t_1}{2} + t_2 + \frac{t_3}{2} \right)$.

5. Выразим максимальную скорость $v_{max}$ и подставим числовые значения:

$v_{max} = \frac{S}{\frac{t_1}{2} + t_2 + \frac{t_3}{2}} = \frac{20000}{\frac{120}{2} + 700 + \frac{180}{2}} = \frac{20000}{60 + 700 + 90} = \frac{20000}{850}$ м/с.

$v_{max} = \frac{400}{17} \approx 23.53$ м/с.

Ответ: модуль максимальной скорости поезда равен $\frac{400}{17}$ м/с, что примерно составляет 23.53 м/с (или 84.7 км/ч).