Номер 7, страница 103 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 3. Параграф 1.22. Примеры решения задач. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 7, страница 103.

Условие.

7. По прямой начинает двигаться точка с постоянным ускорением. Спустя время $t_1$ после начала её движения направление ускорения точки изменяется на противоположное, оставаясь неизменным по модулю. Определите, через какое время $t_2$ после начала движения точка вернётся в исходное положение.

Решение.

Дано

Начальная скорость: $v_0 = 0$ м/с
Начальное положение: $x_0 = 0$ м
Ускорение на первом этапе ($0 \le t \le t_1$): $a_1 = a$
Ускорение на втором этапе ($t > t_1$): $a_2 = -a$
Момент смены ускорения: $t_1$
Конечное положение в момент времени $t_2$: $x(t_2) = x_0 = 0$ м

Найти:

$t_2$ — время, через которое точка вернется в исходное положение.

Решение

Движение точки можно разделить на два этапа.

1. Первый этап движения (продолжительностью $t_1$).

Точка начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$) с постоянным ускорением $a$. Запишем уравнения для скорости и перемещения (координаты) в конце этого этапа.

Скорость в момент времени $t_1$:

$v_1 = v_0 + a t_1 = a t_1$

Перемещение (координата) в момент времени $t_1$:

$x_1 = x_0 + v_0 t_1 + \frac{a t_1^2}{2} = \frac{a t_1^2}{2}$

Эти значения ($v_1$ и $x_1$) являются начальными для второго этапа движения.

2. Второй этап движения (начиная с момента $t_1$).

На этом этапе ускорение точки становится равным $-a$. Движение описывается уравнением:

$x(t) = x_1 + v_1(t - t_1) + \frac{(-a)(t - t_1)^2}{2}$

Мы ищем момент времени $t_2$, когда точка вернется в исходное положение, то есть ее координата станет равной нулю: $x(t_2) = 0$. Подставим в уравнение $t = t_2$ и $x(t_2) = 0$, а также выражения для $x_1$ и $v_1$:

$0 = \frac{a t_1^2}{2} + (a t_1)(t_2 - t_1) - \frac{a(t_2 - t_1)^2}{2}$

Поскольку $a \ne 0$, можно разделить обе части уравнения на $a/2$:

$0 = t_1^2 + 2t_1(t_2 - t_1) - (t_2 - t_1)^2$

Пусть $\Delta t = t_2 - t_1$ — это продолжительность второго этапа. Тогда уравнение примет вид:

$t_1^2 + 2t_1 \Delta t - (\Delta t)^2 = 0$

Перепишем его в стандартном виде для квадратного уравнения относительно $\Delta t$:

$(\Delta t)^2 - 2t_1 \Delta t - t_1^2 = 0$

Найдем корни этого уравнения:

$\Delta t = \frac{-(-2t_1) \pm \sqrt{(-2t_1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-t_1^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{2t_1 \pm \sqrt{4t_1^2 + 4t_1^2}}{2} = \frac{2t_1 \pm \sqrt{8t_1^2}}{2}$

$\Delta t = \frac{2t_1 \pm 2\sqrt{2}t_1}{2} = t_1(1 \pm \sqrt{2})$

Так как время $\Delta t$ не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком «плюс»:

$\Delta t = t_1(1 + \sqrt{2})$

Искомое время $t_2$ — это сумма продолжительностей двух этапов:

$t_2 = t_1 + \Delta t = t_1 + t_1(1 + \sqrt{2}) = t_1(1 + 1 + \sqrt{2}) = t_1(2 + \sqrt{2})$

Ответ: $t_2 = t_1(2 + \sqrt{2})$