Номер 1, страница 102 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 3. Параграф 1.22. Примеры решения задач. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 1, страница 102.

Условие.

Упражнение 3

1. Небольшому кубику на гладкой наклонной плоскости сообщили начальную скорость $v_0 = 8 \text{ м/с}$, направленную вверх. Кубик движется прямолинейно с постоянным ускорением, модуль которого $a = 2 \text{ м/с}^2$. Найдите положение кубика относительно той точки плоскости, где кубику сообщена скорость $\vec{v_0}$, в моменты времени 2, 4, 6 с от начала движения, а также скорость кубика в те же моменты времени. Чему равен путь, пройденный кубиком за 5 с?

Решение.

Дано:

$v_0 = 8$ м/с

$a = 2$ м/с²

$t_1 = 2$ с

$t_2 = 4$ с

$t_3 = 6$ с

$t_4 = 5$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$x_1, v_1$ - положение и скорость в момент $t_1$;

$x_2, v_2$ - положение и скорость в момент $t_2$;

$x_3, v_3$ - положение и скорость в момент $t_3$;

$S_4$ - путь, пройденный за время $t_4$.

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с наклонной плоскостью. Направим ось OX вверх вдоль плоскости, а начало отсчета ($x_0 = 0$) поместим в точку, где кубику сообщили начальную скорость.

Начальная скорость $\vec{v_0}$ направлена вверх, то есть в положительном направлении оси OX, поэтому ее проекция $v_{0x} = v_0 = 8$ м/с. Ускорение, вызванное силой тяжести, направлено вниз вдоль плоскости, то есть против оси OX. Поэтому проекция ускорения на ось OX будет отрицательной: $a_x = -a = -2$ м/с².

Движение кубика является прямолинейным и равноускоренным. Запишем уравнения для координаты $x(t)$ и проекции скорости $v_x(t)$ в любой момент времени $t$:

$x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2} = 0 + 8t - \frac{2t^2}{2} = 8t - t^2$

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t = 8 - 2t$

Найдите положение кубика относительно той точки плоскости, где кубику сообщена скорость $\vec{v_0}$, в моменты времени 2, 4, 6 с от начала движения, а также скорость кубика в те же моменты времени.

1. При $t_1 = 2$ с:

Положение: $x_1 = x(2) = 8 \cdot 2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$ м.

Скорость: $v_1 = v_x(2) = 8 - 2 \cdot 2 = 8 - 4 = 4$ м/с. Скорость положительна, значит кубик движется вверх.

2. При $t_2 = 4$ с:

Положение: $x_2 = x(4) = 8 \cdot 4 - 4^2 = 32 - 16 = 16$ м.

Скорость: $v_2 = v_x(4) = 8 - 2 \cdot 4 = 8 - 8 = 0$ м/с. В этот момент кубик достиг максимальной высоты и остановился, чтобы начать движение вниз.

3. При $t_3 = 6$ с:

Положение: $x_3 = x(6) = 8 \cdot 6 - 6^2 = 48 - 36 = 12$ м. Кубик вернулся в ту же точку, где был в момент $t_1=2$ с, но уже двигаясь в обратном направлении.

Скорость: $v_3 = v_x(6) = 8 - 2 \cdot 6 = 8 - 12 = -4$ м/с. Знак «минус» указывает, что скорость направлена вниз, против оси OX.

Ответ: В момент времени 2 с положение кубика 12 м, скорость 4 м/с. В момент 4 с положение 16 м, скорость 0 м/с. В момент 6 с положение 12 м, скорость -4 м/с (направлена вниз).

Чему равен путь, пройденный кубиком за 5 с?

Путь — это длина траектории. Так как кубик меняет направление движения, путь не будет равен модулю перемещения. Мы уже определили, что кубик останавливается и меняет направление в момент времени $t_{пов} = 4$ с. Время, за которое нужно найти путь, $t_4 = 5$ с, больше времени подъема.

Поэтому путь $S_4$ будет состоять из двух частей: пути $S_{вверх}$ при движении вверх до остановки и пути $S_{вниз}$ при движении вниз после остановки.

$S_4 = S_{вверх} + S_{вниз}$

Путь вверх — это максимальная координата, которой достиг кубик. Это происходит в момент $t_2 = 4$ с:

$S_{вверх} = x(4) = 16$ м.

Далее кубик движется вниз в течение времени $\Delta t = t_4 - t_{пов} = 5 - 4 = 1$ с.

Найдем положение кубика в момент $t_4 = 5$ с:

$x(5) = 8 \cdot 5 - 5^2 = 40 - 25 = 15$ м.

Путь вниз — это расстояние, пройденное от точки максимального подъема ($x(4)=16$ м) до точки, где кубик оказался в момент $t=5$ с ($x(5)=15$ м):

$S_{вниз} = |x(5) - x(4)| = |15 - 16| = |-1| = 1$ м.

Тогда полный путь за 5 с равен:

$S_4 = S_{вверх} + S_{вниз} = 16 + 1 = 17$ м.

Ответ: Путь, пройденный кубиком за 5 с, равен 17 м.