Номер 8, страница 103 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 3. Параграф 1.22. Примеры решения задач. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 8, страница 103.

Условие.

8. Вагонетка должна перевезти груз в кратчайший срок с одного места на другое, удалённое от первого на расстояние $\text{L}$. Она может увеличивать или уменьшать свою скорость только с одинаковым по модулю ускорением, равным $\text{a}$. Кроме того, она может двигаться с постоянной скоростью. Какой наибольшей по модулю скорости должна достигнуть вагонетка, чтобы было выполнено указанное выше условие?

Решение.

Дано:

L - расстояние, которое должна проехать вагонетка.

a - модуль ускорения и замедления вагонетки.

Найти:

$v_{max}$ - наибольшая по модулю скорость, которой должна достигнуть вагонетка.

Решение:

Для того чтобы вагонетка перевезла груз в кратчайший срок, её средняя скорость на всем пути должна быть максимальной. Это условие выполняется, если вагонетка движется с максимально возможным ускорением на первой части пути, а затем с максимально возможным замедлением на второй части пути, без участков движения с постоянной скоростью. Любой промежуток времени, проведенный в движении с постоянной скоростью (которая будет меньше максимально достижимой), увеличит общее время в пути.

Следовательно, оптимальный режим движения состоит из двух равных по времени этапов:

1. Разгон с постоянным ускорением $a$ от начальной скорости $v_0 = 0$ до максимальной скорости $v_{max}$.

2. Торможение с постоянным ускорением $-a$ (замедление) от скорости $v_{max}$ до полной остановки $v_k = 0$.

Из-за симметрии (модули ускорения и замедления равны), путь, пройденный на этапе разгона, будет равен пути, пройденному на этапе торможения. Таким образом, вагонетка разгоняется на первой половине пути, $s_1 = L/2$, и тормозит на второй половине, $s_2 = L/2$.

Рассмотрим этап разгона. Воспользуемся формулой, связывающей перемещение, начальную и конечную скорости и ускорение, без времени:

$v_{f}^2 - v_{i}^2 = 2as$

Для первого участка пути имеем:

начальная скорость $v_i = 0$

конечная скорость $v_f = v_{max}$

пройденный путь $s = s_1 = L/2$

ускорение $a$

Подставим эти значения в формулу:

$v_{max}^2 - 0^2 = 2a \left(\frac{L}{2}\right)$

Упрощая, получаем:

$v_{max}^2 = aL$

Отсюда, наибольшая скорость, которой должна достигнуть вагонетка, равна:

$v_{max} = \sqrt{aL}$

Ответ: Наибольшая по модулю скорость, которой должна достигнуть вагонетка, равна $\sqrt{aL}$.