Номер 9, страница 103 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 3. Параграф 1.22. Примеры решения задач. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 9, страница 103.

Условие.

9. На рисунке 1.70 приведён график зависимости проекции скорости точки, движущейся прямолинейно, от времени. Постройте график зависимости координаты от времени, если $x_0 = 4,5 \text{ м}$. Постройте график зависимости пути от времени.

Рис. 1.70

Решение.

Дано:

График зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$.

Начальная координата $x_0 = 4,5$ м.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. График зависимости координаты от времени $x(t)$.

2. График зависимости пути от времени $s(t)$.

Решение:

Для решения задачи разобьем движение на два участка, соответствующие линейным сегментам на графике $v_x(t)$. На каждом из этих участков движение является равноускоренным.

Постройте график зависимости координаты от времени, если $x_0 = 4,5$ м

Координата тела при равноускоренном движении изменяется по закону $x(t) = x_{start} + v_{x,start}\Delta t + \frac{a_x(\Delta t)^2}{2}$. Перемещение $\Delta x$ за промежуток времени $\Delta t$ также можно найти как площадь фигуры под графиком $v_x(t)$ на этом промежутке.

Участок 1: $0 \le t \le 6$ с

Движение равноускоренное. Начальная скорость $v_{0x} = -3$ м/с.

Найдем ускорение на этом участке:

$a_{1x} = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_x(6) - v_x(0)}{6 - 0} = \frac{3 - (-3)}{6} = 1$ м/с$^2$.

Уравнение зависимости координаты от времени на этом участке:

$x_1(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_{1x}t^2}{2} = 4,5 - 3t + \frac{1 \cdot t^2}{2} = 0,5t^2 - 3t + 4,5$.

Это уравнение параболы с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты в ключевых точках времени:

• При $t=0$ с: $x(0) = x_0 = 4,5$ м.
• В момент времени, когда скорость равна нулю ($v_x=0$), тело меняет направление движения. Из графика видно, что это происходит при $t=3$ с. Координата в этой точке (вершина параболы):
  $x(3) = 0,5 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 4,5 = 4,5 - 9 + 4,5 = 0$ м.
• В конце участка, при $t=6$ с:
  $x(6) = 0,5 \cdot 6^2 - 3 \cdot 6 + 4,5 = 18 - 18 + 4,5 = 4,5$ м.

Участок 2: $6 \text{ с} < t \le 9$ с

Движение равнозамедленное. Начальная скорость для этого участка $v_x(6) = 3$ м/с.

Найдем ускорение на этом участке:

$a_{2x} = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_x(9) - v_x(6)}{9 - 6} = \frac{0 - 3}{3} = -1$ м/с$^2$.

Для нахождения координаты в конце этого участка найдем перемещение как площадь под графиком $v_x(t)$ от 6 до 9 с. Эта фигура - треугольник.

$\Delta x_{6 \to 9} = \frac{1}{2} \cdot (9-6) \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5$ м.

Координата в момент времени $t=9$ с:

$x(9) = x(6) + \Delta x_{6 \to 9} = 4,5 + 4,5 = 9$ м.

На этом участке зависимость $x(t)$ также является параболической, но с ветвями, направленными вниз, так как ускорение отрицательное.

Ответ: График $x(t)$ состоит из двух параболических сегментов.
1. На интервале $[0, 6]$ с — это парабола с ветвями вверх, проходящая через точки $(0; 4,5)$, $(3; 0)$ (вершина) и $(6; 4,5)$.
2. На интервале $[6, 9]$ с — это парабола с ветвями вниз, соединяющая точки $(6; 4,5)$ и $(9; 9)$.

Постройте график зависимости пути от времени

Путь $s$ — это длина траектории, пройденной точкой. Путь не может убывать. Он равен сумме площадей фигур под графиком модуля скорости $|v_x(t)|$. Начальный путь $s(0)=0$.

Участок 1: $0 \le t \le 3$ с

Скорость отрицательна, тело движется против оси Ох. Пройденный путь равен модулю перемещения. Перемещение (площадь треугольника под осью времени):

$\Delta x_{0 \to 3} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (-3) = -4,5$ м.

Путь, пройденный за это время:

$s(3) = |\Delta x_{0 \to 3}| = 4,5$ м.

Участок 2: $3 < t \le 6$ с

Скорость положительна, тело движется вдоль оси Ох. Перемещение (площадь треугольника над осью времени):

$\Delta x_{3 \to 6} = \frac{1}{2} \cdot (6-3) \cdot 3 = 4,5$ м.

Путь, пройденный к моменту времени $t=6$ с:

$s(6) = s(3) + \Delta x_{3 \to 6} = 4,5 + 4,5 = 9$ м.

Участок 3: $6 < t \le 9$ с

Скорость положительна, тело продолжает движение вдоль оси Ох. Перемещение было рассчитано ранее:

$\Delta x_{6 \to 9} = 4,5$ м.

Путь, пройденный к моменту времени $t=9$ с:

$s(9) = s(6) + \Delta x_{6 \to 9} = 9 + 4,5 = 13,5$ м.

Ответ: График $s(t)$ представляет собой непрерывно возрастающую кривую, состоящую из трех параболических сегментов, соединяющих ключевые точки:
$(0; 0) \to (3; 4,5) \to (6; 9) \to (9; 13,5)$.